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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{juin 2004}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Informatique de gestion session 2004}

\vspace{0,25cm}

Épreuve obligatoire  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A.}

\medskip

Dans l'ensemble des matrices carrées d'ordre 3 on pose :

\[A = \begin{pmatrix}
0&1&1\\
0&1&0\\
1&1&1\\
\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad  J	 = \begin{pmatrix}
1&0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}.\]
On rappelle que : $A^2 = A \times A,~~ A^3 = A^2 \times A, \quad 	A^4 = A^3 \times A$ et	$A^5 = A^4 \times A$.

\begin{enumerate}
\item Calculer les produits matriciels $A^2$ et $A^3$.
\item Vérifier que $A^3 = 2A^2 - I$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit ($\mathbb{G}$) le graphe à 3 sommets : ($a,~ b,~ c$) dont la matrice d'adjacence est $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Dessiner ($\mathbb{G}$).
\item Quelle et l'interprétation de $19$ dans la matrice $A^5 = \begin{pmatrix}
3&12&5\\
0&1&0\\ 
5&19&8\\
\end{pmatrix}$ ? 
\item On choisit au hasard (avec équiprobabilité) un chemin de longueur 5 dans le graphe ($\mathbb{G}$).

Quelles sont, arrondies à $10^{-2}$ près, les probabilités des évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] C1 : \og Le chemin se termine par $a$ \fg{} ?
\item[] C2 : \og Le chemin commence par $c$ et se termine par $a$ \fg{} ? 
\item[] C3 : \og Le chemin est un circuit \fg{} ?
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Au rayon location d'un grand magasin, on loue à la semaine des machines-outils, et on se propose d'étudier la rentabilité de ce service.}

\medskip

\textbf{Partie A. Étude du coût de fonctionnement}

\medskip

On suppose que le coût de fonctionnement hebdomadaire (en centaines d'euros) correspondant à la location de $n$ machines est donné par

\[C(n) = 4n + 9 - 20 \ln (0,2n + 1)\quad  (n~ \text{entier naturel}).\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer, en arrondissant à 1~\euro{} près, $C(10)$ et $C(20)$.

Le coût de fonctionnement hebdomadaire est-il proportionnel au nombre de machines louées ?
\item   On pose $c(x) = 4x+ 9 - 20 \ln(0,2x+ 1) \quad (x ~\text{réel positif ou nul})$.

Calculer $c'(x)$ et vérifier que $c'(x) = \dfrac{0,8x}{0,2x + 1}$.

En déduire le sens de variation du coût.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B. Étude de la rentabilité}

\medskip

Chaque machine est louée 300~\euro{} par semaine.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi le bénéfice hebdomadaire (en centaines d'euros) correspondant à la location de $n$ machines est donné par :

\[B(n) = - n - 9 + 20 \ln (0,2n + 1)\quad 	(n~ \text{entier naturel}).\]

\item  On pose $b(x) = - x - 9 + 20 \ln (0,2x + 1)\quad  	(x~ \text{réel positif ou nul})$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $b'(x)$ et vérifier que $b'(x) = \dfrac{-0,2x + 3}{0,2x + 1}$.
		\item 	Étudier le sens de variation de la fonction $b$ sur l'intervalle [0~;~40].
		\item 	Dresser le tableau de variations de la fonction $b$.
(on donnera les arrondis, à $10^{-2}$ près, des valeurs particulières)
	\end{enumerate}
\item \emph{On donne, page suivante, la courbe représentative de la fonction} $b$.
		
\medskip

En vous aidant du graphique, dire
	\begin{enumerate}
		\item Combien le magasin doit louer de machines par semaine pour que le bénéfice réalisé soit positif.
		\item Quel est, arrondi à un euro près, le bénéfice maximal réalisable en une semaine,
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\newpage

\vspace*{3cm}
\begin{center}
\psset{xunit=0.2925cm,yunit=1cm}
\begin{pspicture}(-1,-10)(40,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(-1,-10)(40,4)
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\psplot[linecolor=blue,plotpoints=2000]{0}{40}{0.2 x mul 1 add ln 20 mul  x sub 9 sub}
\end{pspicture}
\end{center}	
	
\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Tous les résultats des calculs de probabilités demandés dans cet exercice seront arrondis à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\textbf{Les questions A., B.,  C. peuvent être traitées séparément.}

\medskip

Une entreprise fabrique des articles dont le prix de vente unitaire est 28~\euro{} et le coût de revient unitaire est 22~\euro{}. On admet que le nombre $X$ d'articles vendus par an est une variable aléatoire qui suit la loi normale $\mathcal{N}(\np{12000}~;~ \np{3000})$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quelle est la probabilité de fabriquer moins de\np{15000}~articles par an ?

\item 	Déterminer, arrondi à 100~unités près, le nombre réel $\alpha$ qui vérifie $P(X > \alpha) = 0,75$.

Interpréter ce nombre.
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les charges annuelles de l'entreprise sont de \np{48000}~\euro, et on note $Y$ son bénéfice annuel en euros.

\begin{enumerate}
\item Justifier la relation : $Y =  6X - \np{48000}$.

\item 	Quelle est la probabilité que le bénéfice annuel de l'entreprise soit positif ?
\end{enumerate}
	
\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En 2005 l'entreprise compte fabriquer \np{10000}~articles et en se basant sur les années antérieures, elle table sur un taux de défectuosité de $0,003$. On suppose l'indépendance entre les états (défectueux ou non) des articles. Ces articles seront vendus par lots de $200$. Soit $Z$ le nombre aléatoire d'articles défectueux présents dans un lot.

\begin{enumerate}
\item Justifier que $Z$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(200~;~0,003)$.

\item  Calculer la probabilité des évènements suivants :
	\begin{enumerate}
		\item Dans un lot, aucun article n'est défectueux. 
		\item Dans un lot, au moins deux articles sont défectueux.
	\end{enumerate}
\item	On admet que $Z$ peut être approchée par une loi de Poisson $Z'$ de même espérance mathématique que $Z$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le paramètre $\lambda$ de $Z'$.
		\item En utilisant la loi de $Z'$ déterminer avec la précision de la table, la probabilité qu'un lot contienne moins de 5 articles défectueux.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}