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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Informatique de gestion~\decofourright\\
 Polynésie mai 2009}}

\vspace{0,25cm}

Durée : 1 heure \hfill 		coefficient : 1

\vspace{0,25cm}

\textbf{ÉPREUVE FACULTATIVE}

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle 

\[(E) :\quad  y'+y =\dfrac{1}{1 + \text{e}^x},\]

où $y$ désigne une fonction  numérique de la variable réelle $x$ définie et dérivable sur $\R$, et où $y'$ désigne sa fonction dérivée.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{1}\right) : \quad  y'+ y = 0$. 
\item Vérifier que la fonction $f$, définie sur $\R$ par : $f(x) = \text{e}^{-x} \ln \left(1 + \text{e}^{-x}\right)$ est une solution particulière de l'équation $(E)$. 
\item Résoudre l'équation $(E)$. 
\item Déterminer la solution $g$ de l'équation $(E)$ vérifiant la condition : $g(0) = 0$.
\end{enumerate}

 \vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 13 points}

\medskip

Une usine fabrique des composants électroniques $A$ et $B$. Les deux variables aléatoires réelles $T_{A}$ et $T_{B}$ qui associent aux composants $A$ et $B$ leur temps de bon fonctionnement respectifs exprimés en heures suivent des lois exponentielles de paramètres respectifs $\lambda_{A}$ et $\lambda_{B}$.

\medskip
 
\emph{Dans l'exercice, toutes les probabilités seront arrondies au millième.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Pour le composant $A$, on sait que l'espérance de vie (ou M. T. R. F.) est de \np{25000}~heures.
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la valeur du paramètre $\lambda_{A}$ ? 
	\item Au bout de combien de temps 30\,\% des composants $A$ auront-iIs leur première défaillance ? (Arrondir à l'heure.) 
	\end{enumerate}
\item Pour le composant $B$, on donne $\lambda_{B} = \np{0,0001}$. 
	\begin{enumerate}
	\item Quelle est l'espérance de vie (ou M. T. B. F.) du composant $B$ ? 
	\item Quelle est la probabilité qu'un composant $B$ fonctionne plus de
	
	 \np{10000}~heures? 
	\item Quelle est la probabilité qu'il ait sa première défaillance entre \np{5000} et \np{10000}~heures? 
	\item Sachant qu'il a fonctionné \np{5000}~heures, quelle est la probabilité qu'il tombe en panne entre \np{5000} et \np{10000}~heures ?
	\end{enumerate} 
\item On monte deux composants $B$ en série. (Pour que le montage fonctionne, il faut que les deux composants fonctionnent.) On suppose que les risques de panne sont indépendants d'un composant à l'autre.
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, pour un tel montage, la fonction de fiabilité $R$ définie pour tout réel $t$ par : $R(t) = P(T \geqslant t)$. 
	\item En déduire l'espérance de vie (ou M. T. R. F.), exprimée en heures de ce système.
	\end{enumerate} 
\item Dans cette question. on met deux composants $B$ en parallèle. (Pour que ce montage soit en panne, il faut que les deux composants soient en panne.) On suppose à nouveau que les risques de panne sont indépendants. 
	\begin{enumerate}
	\item Déterminer pour un tel montage, la fonction de défaillance $F$ définie pour tout réel $t$ par : $F(t) = P(T \leqslant t)$.  
	\item Quelle est la probabilité pour que ce montage tombe en panne avant \np{10000}~heures ? 
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}