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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session décembre  2002}}
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\begin{center} {\Large \textbf{Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie \\session décembre 2002 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]- 1~;~+\infty[$ par : 

\[f(x) = (3 + x)\ln (1 + x).\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère \Oij{} orthonormé.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que le développement limité d'ordre 2, au voisinage de zéro, de la fonction $f$ est :

\[f(x) = 3x - \dfrac{1}{2}x^2 + x^2\epsilon(x)~~\text{avec}~~\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

		\item  Déduire de la question précédente une équation de la tangente (T) à $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse zéro et la position relative de $(\mathcal{C})$ et (T) au voisinage de ce point.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  À l'aide d'une intégration par parties calculer la valeur exacte de l'intégrale :

\[\text{I} = \int_{1}^2 (2 + t) \ln t \:\text{d}t.\]

		\item En déduire, en utilisant le changement de variable défini par $t = 1+ x$, la valeur exacte de l'intégrale :

\[\text{J} = \int_{0}^1 f(x)\: \text{d}x.\]

 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm} 
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère l'équation différentielle : 

\[(E) \quad  10^4 y'+ 3y = 0\]
où $y$ est une fonction de la variable $t$, définie et dérivable sur $\R$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle ($E$).
		\item Déterminer la solution particulière $f$ de ($E$) telle que $f(0) = 1$.
 	\end{enumerate}
\item On désigne par $T$ la variable aléatoire qui mesure, en heures, la durée de fonctionnement sans panne d'un appareil ménager.
	
On admet que pour tout réel $t$ positif ou nul, la probabilité pour que $T$ soit supérieur à $t$ est donnée par $f(t)$, c'est-à-dire que :
$P(T \geqslant  t) = \text{e}^{-0,003t}$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la moyenne des temps de bon fonctionnement (M T B F).
		
(on donnera le résultat sous sa forme arrondie à l'unité près)
		\item Calculer à $10^{-3}$ près la probabilité pour que l'appareil ménager tombe en panne avant 200 heures d'utilisation.
		\item Calculer l'instant $t$ où la fiabilité est égale à $\dfrac{1}{2}$, c'est-à-dire l'instant $t$ où on a $P(T \geqslant  t) = 0,5$.
		
On donnera le résultat sous sa forme arrondie à l'heure près.
		
Comment peut-on interpréter ce résultat ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
 \end{document}