%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp}
\usepackage{graphicx} 
\newcommand{\euro}{\texteuro{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{novembre 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\novembre 2007 - Informatique de gestion\\
Nouvelle--Calédonie}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE FACULTATIVE

Durée :  1 heure \hfill 	Coefficient : 1
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 13 points}\\

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

\textbf{Partie A}
Une entreprise est spécialisée dans la production d'un type de machine agricole. On note $C(x)$ le coût total, en milliers d'euros, de la production de $x$ machines. On suppose que la fonction de coût total $C$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ et qu'elle est solution, pour $x$ réel positif  de l'équation différentielle

\[ 4C'(x) - C(x) = 5x - 80.\]

De plus les frais fixes, correspondant à $C(0)$,s'élèvent à $70$ milliers d'euros.

On considère l'équation différentielle (E) : $4y'- y = 5x - 80$, l'inconnue $y$ étant une fonction de la variable $x$ définie et dérivable sur l'intervalle $[0~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la solution générale de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{0}\right) ~:\quad  4y' - y = 0.$
\item   Déterminer les réels $a$ et $b$ pour lesquels la fonction $\varphi$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par :  $\varphi(x) = ax + b$, est solution de (E).
\item   En déduire la solution générale de l'équation (E).
\item   Déduire des questions précédentes l'expression de $C(x)$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par : 
\[f(x) = 10\text{e}^{\frac{1}{4}x} - 5x + 60.\]
 On note $\Gamma$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal \Oij.

\begin{enumerate}
\item  Écrire  le développement limité de la fonction : $t \longmapsto  \text{e}^{t}$ à l'ordre $2$ au voisinage de $0$.
\item  Démontrer qu'alors le développement limité de $f$ à l'ordre 2 au voisinage de $0$ s'écrit :

\[f(x) = 70- \dfrac{5}{2}x + \dfrac{5}{16}x^2 + x^2\epsilon(x)~~\text{avec} \displaystyle\lim_{x\to 0} \epsilon(x) = 0.\]

\item  Utiliser ce résultat pour donner l'équation de la tangente (T) à $\Gamma$ en son point d'abscisse $0$, et préciser la position de ($\Gamma$) par rapport à (T) au voisinage de ce point.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

On admet que la durée d'attente, en minutes, au départ d'une certaine remontée mécanique dans une station de sports d'hiver, est, en période de vacances scolaires d'hiver, une variable aléatoire qui suit
la loi exponentielle de paramètre $\lambda = 0,05$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer, en minutes, le temps moyen d'attente au départ de cette remontée mécanique.

\medskip

\emph{Pour les questions suivantes, les résultats seront donnés arrondis à la deuxième décimale.}

\item  Calculer la probabilité d'attendre au départ de cette remontée mécanique :
	\begin{enumerate}
		\item  moins de 10~minutes ;
		\item  plus de 30~minutes.
	\end{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le temps d'attente au départ de cette remontée mécanique soit compris entre 10 et 30~minutes.
\item Un skieur arrive au départ de la remontée mécanique ;  un panneau indique que le temps d'attente est d'au moins 10~minutes. Calculer la probabilité qu'il soit inférieur à 30~minutes.
\end{enumerate}
\end{document}