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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session mai  2009}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session mai 2009 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle:
 
\[(E) : \quad y'- 2y = \text{e}^{2x},\]

où $y$ représente une fonction de variable réelle $x$, définie et dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item  Résoudre dans $\R$ l'équation différentielle $(E') : \quad  y'- 2y = 0$.
\item  Montrer que la fonction $\varphi$ définie pour tout réel $x$ par : $\varphi(x) = \text{e}^{2x}$ , est une solution particulière de l'équation $(E)$.
\item  En déduire l'ensemble des solutions de l'équation $(E)$.
\item  Parmi ces solutions, déterminer la solution $g$ de $(E)$ qui vérifie la condition : $g(0) = 2$.
\item  Donner le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de $0$, de $\text{e}^x$, puis de $\text{e}^{2x}$, et enfin de $(2+x)\text{e}^{2x}$.
\item  En utilisant une intégration par parties, calculer l'intégrale : 

\[I = \int_{0}^1  J: (2+ x)\text{e}^{2x}\:\text{d}x.\]

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

La durée de vie en heures d'un composant électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

On désigne par $R$ sa fonction de fiabilité et par $F$ sa fonction de défaillance.
\begin{enumerate}
\item  Donner  l'expression de $R(t)$ et celle de $F(t)$, en fonction de $\lambda$ et de $t$.
\item  À partir d'observations statistiques, on a pu évaluer que : $R(\nombre{2000}) = 0,8$.

Déterminer la valeur du paramètre $\lambda$, arrondie à la sixième décimale.
\item  On prendra dans cette question $\lambda = \nombre{0,00011}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner le temps moyen de bon fonctionnement de ce composant, arrondi à l'heure.
	\item  Calculer la probabilité $p(T) > \nombre{3000})$, arrondie au millième.
 	\end{enumerate}
\item  On admettra dans cette question que les fonctionnements de deux composants identiques sont indépendants.
	
On rappelle qu'un montage de deux composants en série fonctionne si les deux composants fonctionnent simultanément et qu'un montage de deux composants en parallèle fonctionne si au moins un des deux composants fonctionne.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la probabilité qu'un montage de deux composants en série fonctionne au-delà de \nombre{3000} heures ? (Arrondir la valeur au millième.)
	\item Même question pour un montage en parallèle.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}