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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session mai  2012}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session mai 2012 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip
 
\begin{center}\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}\end{center}
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On considère les deux équations différentielles : 

\[(E) \::\quad y^{\prime}- 2 y = 4x^2 - 4x\quad \text{et}\quad  \left(E_{0}\right)\::\quad  y^{\prime} - 2y = 0,\]

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur $\R$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle $\left(E_{0}\right)$.
\item Montrer qu'il existe un réel $a$ tel que la fonction $f$ définie pour tout réel $x$ par $f(x) = ax^2$ est solution de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Donner l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$. 
\item Déterminer la solution $y$ de l'équation différentielle $(E)$ telle que $y(0) = 1$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Soit la fonction $g$ définie pour tout réel $x$ par : $g(x) = \text{e}^{2x} - 2x^2$. 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le développement limité à l'ordre 3 de $\text{e}^{2x}$. 
		\item En déduire que le développement limité à l'ordre 3 de $g(x)$ est : 

\[g(x) = 1 + 2x + \dfrac{4}{3}x^3 + x^3\epsilon(x),\quad  \text{avec}\: \lim \epsilon (x) = 0.\] 

		\end{enumerate} 
\item On note $(\Gamma)$ la courbe représentative de la fonction $g$, et ($T$) sa tangente au point d'abscisse $0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de la question précédente une équation de la tangente ($T$). 
		\item Donner les positions relatives de ($T$) et de la courbe $(\Gamma)$ au voisinage du point de contact.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

\begin{center}\emph{Dans cet exercice, toutes les probabilités seront arrondies au centième}\end{center}
 
La durée de vie d'un composant électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle. Sa durée de vie moyenne (MTBF) est 392~jours.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur du paramètre $\lambda$ de cette loi, arrondi à la cinquième décimale. 
\item Calculer la probabilité que ce composant tombe en panne au cours de la première année. On considère qu'une année compte 365~jours. 
\item Calculer la probabilité que ce composant fonctionne encore au bout de trois ans. 
\item Déterminer le plus grand nombre de jours $n$, tel que la probabilité que ce composant fonctionne encore au bout de ces n jours soit supérieure ou égale à $0,95$. 
\item Pour améliorer la fiabilité du système, on décide de monter $6$~composants analogues en parallèle. On rappelle que, dans ce cas, le montage est en panne lorsque tous les composants le sont. On suppose que les pannes sont indépendantes. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité pour qu'un tel montage ait une panne au cours de la première année. 
		\item Quelle est la probabilité qu'un tel montage fonctionne encore au bout d'un an ?
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}