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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session mai  2011}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole ~\decofourright\\ session mai 2011 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Résolution d'une équation différentielle

\medskip
 
On considère l'équation différentielle 

\[(\text{E}) :\quad  y'- 2y = \text{e}^{2x},\]

où $y$ est une fonction de la variable réelle $x$ qui est définie et dérivable sur $\R$. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle sans second membre 
		
		\[(\text{E}_{0}) : \quad  y'- 2y = 0.\]
		 
		\item Montrer que la fonction $u$ définie pour tout réel $x$ par: $u(x) = x\text{e}^{2x}$, est une solution particulière de l'équation (E). 
		\item En déduire la solution générale de (E). 
		\item Déterminer la solution particulière $g$ de l'équation différentielle (E) qui vérifie la condition initiale $g(0) = 1$.
	\end{enumerate} 
\item Développement limité d'une fonction
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par : 

\[f(x) = (x + 1)\text{e}^{2x}.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de $\text{e}^{2x}$. 
		\item En déduire le développement limité à l'ordre 2 de la fonction $f$ au voisinage de $0$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente à la représentation graphique de la fonction $f$ au point A de coordonnées (0~;~1).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip 

\emph{Dans cet exercice, les probabilités seront arrondies au centième et les durées seront arrondies au jour.}

\medskip
 
Une entreprise est spécialisée dans la réparation de matériel audiovisuel dont certains composants sont très fragiles. Elle souhaite proposer à ses clients une période de garantie, après réparation d'un composant défaillant. Une étude a été menée portant sur la fiabilité des composants après ce type de réparation. Cette étude montre que la moyenne des durées de bon fonctionnement d'un composant après réparation est de 500~jours.

\medskip
 
On admet que la durée de bon fonctionnement $X$ des appareils après réparation, exprimée en jour, est une variable aléatoire qui suit une loi exponentielle.
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le paramètre de cette loi est $\lambda = 0,002$. 
\item Calculer la probabilité pour qu'un appareil n'ait pas de défaillance au cours de l'année qui suit la réparation. (On considèrera qu'une année compte 365 jours.) 
\item Calculer la probabilité pour qu'un appareil tombe en panne au cours des deux années suivant la réparation. 
\item L'entreprise décide de limiter à 6\,\% des appareils réparés la possibilité de retour sous garantie, Quelle période de garantie doit-elle alors proposer après une réparation ?
\end{enumerate} 
\end{document}