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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session mai  2010}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\session mai 2010 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 12 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-0,5~;~0,5]$ par 

\[f(x) = (x - 2)\text{e}^{-x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa représentation graphique dans le plan muni d'un repère orthogonal \Oij. 

\begin{enumerate}
\item Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, l'intégrale : I $= \displaystyle\int_{-0,5}^{0,5} (x - 2)\text{e}^{-x}\: \text{d}x.$ 

\emph{On donnera la valeur exacte de {\rm{I}} puis sa valeur arrondie au millième.}

\medskip
 
\item  Donner le développement limité d'ordre 2 de $\text{e}^{-x}$ au voisinage de $0$. 
\item Démontrer que le développement d'ordre 2 de $f$ au voisinage de zéro est :

\[ - 2 + 3x - 2x^2 +x^2\varepsilon(x)\quad  \text{avec} \quad  \displaystyle\lim \epsilon(x) = 0.\] 
 
\item Calculer J $ = \displaystyle\int_{-0,5}^{0,5} \left(-2 + 3x - 2x^2\right)\:\text{d}x$ et vérifier que $|\text{I} - \text{J}| \leqslant  10^{-2}$.
 
\emph{On donnera la valeur exacte de {\rm{J}} puis sa valeur arrondie au millième.}
 
\item Déduire de 3., une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
\item Étudier la position de la tangente $\mathcal{T}$ par rapport à la courbe $\mathcal{C}$ au voisinage du point A.
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les probabilités demandées seront arrondies au millième}

\medskip
 
On considère des circuits intégrés issus d'une certaine production.
 
On choisit au hasard un des circuits. On admet que la variable aléatoire $T$ qui à tout circuit intégré associe sa durée de vie exprimée en heures, suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$. 
\begin{enumerate}
\item Sachant que la MTBF des circuits est de \nombre{100000}~ heures, calculer $\lambda$. 
\item Calculer la probabilité pour qu'un circuit n'ait pas de défaillance au cours des \nombre{90000}~premières heures. 
\item Déterminer à l'heure près, le temps de bon fonctionnement avec une fiabilité de $0,8$. 
\item Calculer la probabilité qu'un circuit soit encore en fonctionnement au bout de \nombre{110000}~heures, sachant qu'il était en fonctionnement au bout de \nombre{90000}~heures. 
\end{enumerate}
\end{document}