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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{Session  2004}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Informatique de gestion~\decofourright\\
Métropole  session 2004}}

\vspace{0,25cm}

Durée : 1 heure \hfill 		coefficient : 1

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE FACULTATIVE

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 11 points}

\medskip

On pose $f(x) =  x \times  \ln (1 +x),~x$  étant une variable réelle de $]- 1~;~+ \infty[$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calcul d'un développement limité
	\begin{enumerate}
		\item  En utilisant le développement limité d'ordre 2, au voisinage de $0$, de la fonction $x \longmapsto  \ln (1 + x)$, montrer qu'on peut écrire :

\[f(x) = x^2 - \dfrac{1}{2}x^3 + x^3\epsilon(x)~ \text{avec}~ \lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0.\]

		\item  En déduire le signe de $f(x)$ au voisinage de $0$.
	\end{enumerate}
\item Sans utiliser les développements limités, montrer que $f(x) =  x \times  \ln (1 +x)$ est positif ou nul pour tout $x$ de $]- 1~;~+ \infty[$.

\item On considère l'équation différentielle 

		\[(\text{E})~~:\quad  x y' - y = \dfrac{x^2}{1 + x},\]
		
$x$  appartenant à l'intervalle $]0~;~+\infty[$ et $y$ étant une fonction inconnue de la variable $x$.
	\begin{enumerate}
		\item  Vérifier que $f$ est solution de (E).
		\item  Résoudre l'équation (E).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 9 points}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice, les résultats des calculs de probabilités seront donnés sous leur forme arrondie à $10^{-3}$ près.}

\medskip

La durée de vie d'une diode (en heures) est une variable aléatoire $X$ qui suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda =  \np{0,00008}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le temps moyen de bon fonctionnement de cette diode ?
\item 	Quelle est la probabilité que la diode fonctionne encore au bout de \np{10000}~heures ?
\item 	Quelle est la probabilité que la première panne intervienne entre la \np{10000}\up{e} et la \np{15000}\up{e} heure ?
\item 	Quel devrait être, arrondi à l'heure près, le temps moyen de bon fonctionnement de la diode pour qu'elle ait une chance sur deux de fonctionner encore au bout de \np{20000} heures ?
\end{enumerate}
\end{document}