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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session mai  2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session décembre 2002 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Un technicien a été chargé d'étudier le fonctionnement d'un certain type A de pièces. Après mesure de la durée de vie d'un certain nombre de ces pièces, il en est arrivé à la conclusion que la  variable aléatoire qui à chaque pièce de type A associe sa durée de vie en jours suit une loi  exponentielle dont la MTBF est égale à 145. 

\begin{enumerate}
\item Calculer le paramètre de cette loi, arrondi à $10^{-4}$ près. 
\item On admet dans cette question que le paramètre de la loi vaut : $\lambda =  0,007$.

\begin{center} 
\textbf{On écrira pour les calculs demandés dans les questions 2. a. , 2. b.  et 3.b.  les valeurs approchées sous leur forme décimale arrondie à} \boldmath  $10^{-3}$\unboldmath  \textbf{près. }
 \end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité  qu'une pièce de type A soit en panne au bout de 200~jours. 
		\item Calculer la probabilité qu'une pièce de ce type soit encore en fonctionnement au bout de 500~ jours. 
		\item Déterminer, arrondi à 1 jour près, le temps de bon fonctionnement avec une fiabilité égale à 0,8.
	\end{enumerate} 
\item  On considère deux pièces de type A fonctionnant de façon indépendante. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la fiabilité du système obtenu en montant ces deux pièces en série. 
		\item Calculer la probabilité que ce système fonctionne au moins 150~jours.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On considère l'équation différentielle  $(E)$ : 

\[xy' + (2x +  1)y  = - 6,\quad x \in ]0~;~+ \infty[.\]
 
	\begin{enumerate}
		\item Trouver une solution particulière $f$  de $(E)$  sous la forme  $f(x) = \dfrac{a }{x}$, où $a$ est une constante réelle à déterminer.  
		\item Résoudre l'équation différentielle
\[xy' + (2x +  1)y  = 0,\quad \text{sur}~] 0~  ;~ + \infty[\]  
		\item En déduire les solutions de $(E)$.
	\end{enumerate} 
\item  Soit $g$ la fonction définie par 

\[g(x) = \dfrac{3\text{e}^{-2x} -  3}{x}, \quad x \in ]0~;~+ \infty[.\]

	\begin{enumerate}
		\item  Donner le développement limité d'ordre 2 de $\text{e}^{-2x}$  au voisinage de $0$. En déduire le  développement limité d'ordre 1 de $g(x)$  au voisinage de $0$. 
		\item  En déduire  :  $\displaystyle\lim_{x \to 0}  g (x)$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}