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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Informatique de gestion~\decofourright\\
Métropole  juin 2008}}

\vspace{0,25cm}

Durée : 1 heure \hfill 		coefficient : 1

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE FACULTATIVE

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}\\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On se propose de résoudre, sur l'intervalle [o; + [, l'équation différentielle :

\[(\text{E})~~ :\quad  (1 + 2x)y' + 2y = 4x - 5.\]

\begin{enumerate}
\item  Résoudre d'abord l'équation différentielle :	

\[(\text{E}')~~: \quad  (1 + 2x)y' + 2y = 0.\]

\item 	Déterminer une solution particulière $y_{0}$ de (E) sous la forme : $y_{0}(x) = ax +b$, où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera.
\item 	En déduire toutes les solutions de (E).
\item 	Parmi toutes les solutions de (E), déterminer la solution $f$ telle : $f(0) = 1$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la fonction $f$, définie pour tout réel positif $x$, par : 

\[f(x) = x -3 + \dfrac{4}{1 + 2x}.\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la valeur exacte de l'intégrale : $I = \displaystyle\int_{0}^{0,1} f(x)\:\text{d}x$.
\item  Déterminer le développement limité à l'ordre 2 de $\dfrac{1}{1 + 2x}$ au voisinage de $0$.
\item  En déduire le développement limité à l'ordre 2 de $f$ au voisinage de $0$.
\item  Calculer la valeur exacte de l'intégrale : $J = \displaystyle\int_{0}^{0,1} \left(1 - 7x + 16x^2\right)\:\text{d}x.$

\item  $J$ est-elle une valeur approchée à $10^{-3}$ près de  $I$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

Une entreprise qui fabrique des tiges filetées proposait à ses clients des tiges dont la longueur moyenne était de 510~mm. Après avoir remplacé le robot qui les fabriquait par une machine plus récente, l'entreprise reçoit des réclamations de quelques clients qui se plaignent que la longueur moyenne des tiges n'est plus la même. Avant de procéder à des investigations coûteuses, l'entreprise décide de procéder à un test bilatéral à partir d'une étude statistique, pour vérifier l'hypothèse que la longueur moyenne des tiges qu'elle fabrique n'a pas changé.\\
À cet effet, elle prélève un échantillon de 400~tiges dans sa production. Les valeurs approchées, arrondies au millième, de la moyenne $m_{e}$ et de l'écart-type $\sigma_{e}$, des longueurs des tiges de cet échantillon sont respectivement $m_{e} = 509,45$~mm et \\$\sigma_{e} = 4,375$~mm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On note $m$ la longueur moyenne des tiges de l'ensemble de la production et $\sigma$ son écart-type.

Donner une estimation ponctuelle de $\sigma$, arrondie au millième.
\item  Soit $Z$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon aléatoire non exhaustif de 400~tiges prélevées dans l'ensemble de la production, associe la longueur moyenne des tiges de cet échantillon.

On admet que $Z$ suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart-type \np{0,2190}.
	\begin{enumerate}
		\item Écrire deux hypothèses alternatives H$_{0}$ et H$_{1}$ permettant de tester l'hypothèse selon laquelle la longueur moyenne des tiges est toujours de 510~mm.
		\item 	Déterminer la région d'acceptation, sous l'hypothèse H$_{0}$, au seuil de risque de 5\,\%.
		\item  Énoncer la règle de décision.
		\item  Utiliser le test avec l'échantillon choisi, et conclure.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}