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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session novembre 2011}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Nouvelle--Calédonie \\session novembre 2011 - Informatique de gestion}}

\vspace{1cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

\begin{center}\emph{Les trois questions sont indépendantes} \end{center}

\begin{enumerate}
\item On donne le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de $0$ d'une fonction $f$ définie sur $\R$ : 

\[f(t) = 1 + 2t + \dfrac{1}{3}t^2 + t^2\epsilon(t)\quad \text{avec}\: \lim_{t \to 0} \epsilon(t) = 0.\] 

On considère la fonction $g$ définie sur R par $g(t) = (1 + t) g(t)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de $g(t)$. 
		\item Déterminer une équation de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ dans un repère, au point d'abscisse $0$. 
		\end{enumerate} 
\item À l'aide d'une intégration par parties, calculer la valeur exacte de l'intégrale : $I = \displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^{x}\:\text{d}x$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
\begin{center} 
\textbf{Partie A} \end{center} 

La direction des ressources humaines d'une entreprise de plus de \np{20000} ~salariés a décidé de rembourser à ses salariés les frais professionnels de téléphone mobile. Pour prévoir cette dépense dans le budget, il a donc été réalisé une enquête auprès de 200~salariés leur demandant le montant de cette dépense. \emph{Cette expérience est assimilée à un tirage aléatoire avec remise}.
 
Pour cet échantillon, la moyenne est $\overline{x} = 54$~\euro{} et l'écart-type est $s = 9$~\euro. 

On désigne par $\overline{X}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 200~salariés prélevé au hasard dans l'ensemble des salariés de l'entreprise, associe la moyenne des montants en euros de ces dépenses. \emph{On pourra assimiler ces prélèvements à des prélèvements aléatoires avec remise}.
 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la moyenne m des montants des dépenses en téléphone mobile professionnel de l'ensemble des salariés de l'entreprise. 
\item Justifier le fait qu'une estimation ponctuelle de l'écart-type (J des montants des dépenses en téléphone mobile professionnel de l'ensemble des salariés de l'entreprise, arrondie au centième, est égale à 9,02. 
\item On rappelle que m est la moyenne de ces dépenses pour l'ensemble des salariés de l'entreprise. 
On admet que $\overline{X}$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left(m~;~\dfrac{\sigma}{\sqrt{200}}\right)$. On prendra pour $\sigma$ la valeur arrondie trouvée à la question 2. 

Donner un intervalle de confiance de $m$ avec le coefficient de confiance de 95\,\%. \emph{Arrondir au centième les bornes de cet intervalle}. 
\end{enumerate}

\begin{center} 
\textbf{Partie B} 
\end{center}

Dans cette question, on pourra considérer que $m = 54$~\euro{} et $a = 9,02${\euro}. L'entreprise comprend un département \og production \fg.
 
Sur un échantillon aléatoire de 80 personnes du département \og production \fg, on a relevé que le montant moyen des dépenses professionnelles en téléphone mobile est égal à 55,40euros. (On assimilera ce relevé à une série de 80 tirages aléatoires avec remise.)
 
On étudie dans cette partie le fait que les dépenses professionnelles en téléphone mobile sont significativement différentes dans le département \og production \fg{} par rapport à ce qu'elles sont dans l'entreprise entière. Pour cela, on va effectuer un test d 'hypothèse bilatéral au seuil de 5\,\%. 

On considère :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item l'hypothèse nulle $H_{0}$ : le montant moyen des dépenses professionnelles en téléphone mobile du département \og production \fg{} est le même que dans l'entreprise entière ; 
\item l'hypothèse alternative $H_{1}$ : le montant moyen des dépenses professionnelles en téléphone mobile du département \og production \fg{} est différent de ce qu'il est dans l'entreprise entière.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On admet que, sous l'hypothèse $H_{0}$, la variable aléatoire Y qui, à chaque échantillon aléatoire de 80 salariés prélevé au hasard dans l'ensemble des salariés de l'entreprise, associe la moyenne des 
montants en euros de ces dépenses, suit la loi normale $\mathcal{N}\left(54,~\dfrac{9,02}{\sqrt{80}}\right)$.

\begin{enumerate}
\item Parmi les quatre intervalles proposés, quel est celui qu'il faut utiliser pour effectuer le test ?
 
\[{\footnotesize\begin{array}{l c l}
I = \left[55,4 - 1,64 \times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}}~;~55,4 + 1,64 \times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}} \right] & ;&J = \left[55,4 - 1,96\times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}}~;~55,4 + 1,96 \times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}} \right]\\
K = \left[54 - 1,64\times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}}~;~54 + 1,64 \times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}}\right]&;&L = \left[54 - 1,96 \times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}}~;~54 + 1,96 \times \dfrac{9,02}{\sqrt{80}}\right].
\end{array}}\]

\item Énoncer une règle de décision. 
\item En utilisant les informations recueillies sur l'échantillon de 80 personnes du département \og production \fg, peut-on décider que les dépenses en téléphone mobile professionnel sont, au seuil de 5\,\%, significativement différentes dans le département \og production \fg{} par rapport à ce qu'elles sont dans l'entreprise entière ?
\end{enumerate} 
\end{document}