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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright \\ Informatique de gestion session 2006}

\bigskip

\textbf{Épreuve facultative}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

La durée de vie exprimée en heures d'un agenda électronique est une variable aléatoire $T$ qui suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On appelle $R$ la fonction de fiabilité.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner l'écriture de $R(t)$ en fonction de $t$ et de $\lambda$.
		\item  Sachant que $R(\np{1000}) = 0, 85$, déterminer $\lambda$ à $10^{-6}$  près par excès.
	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on prend $\lambda = \np{0,00016}$.

	\begin{enumerate}
		\item  Donner le temps moyen de bon fonctionnement d'un agenda. 
		\item  Calculer $P(T> \np{2000})$ à $10^{-3}$ près. 
		\item  Résoudre $P(T < t) = 0,5$. Arrondir à l'heure la plus proche.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}\\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre l'équation différentielle (E) :  $y'+ y = 0$,
où $y$ représente une fonction de la variable réelle $x$.
\item 	Soit (E$'$) l'équation différentielle : $y'+ y = (3x + 2)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Chercher une solution particulière $g$ de (E$'$) sous la forme : $g(x) = (ax + b)\text{e}^{\frac{1}{2}x}$.
		\item En déduire toutes les solutions de (E$'$).
		\item Parmi celles-ci, déterminer la fonction $h$ vérifiant $h(0) = 1$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On donne la fonction $k$ définie sur $\R$ par $k(x) = \text{e}^{-x} + 2x\text{e}^{\frac{1}{2}x}$.

On désigne par $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire les développements limités â l'ordre 2 au voisinage de $0$ des fonctions

\[x \longmapsto  \text{e}^{-x}~ \text{et}~x \longmapsto  \text{e}^{\frac{1}{2}x}.\]

\item En déduire un développement limité d'ordre 2 au voisinage de $0$ de la fonction $k$.
\item À l'aide du résultat précédent, donner une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$. Déterminer les positions relatives de $\mathcal{C}$ et de $T$.
\end{enumerate}
\end{document}