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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Informatique de gestion~\decofourright\\ Métropole  juin 2005}}

\vspace{0,25cm}

Durée : 1 heure \hfill 		coefficient : 1

\vspace{0,25cm}

\textbf{ÉPREUVE FACULTATIVE}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 12 points}

\medskip

On considère l'équation différentielle ($E$) définie par :

\[ y' - 2y = \text{e}^{2x}  -1\]
 où $y$ désigne une fonction numérique dérivable sur $\R$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $\varphi$ définie sur $\R$ par $\varphi(x) =  x\text{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}$ est une solution particulière de ($E$).
\item 	Déterminer la solution générale de l'équation $\left(E_{0}\right)$ définie par : $y'- 2y = 0$.
\item 	En déduire la solution générale de $(E)$.
\item 	Vérifier que la solution particulière de $(E)$ qui s'annule en $0$ est la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[f(x) = - \dfrac{1}{2}\text{e}^{2x} + x\text{e}^{2x} + \dfrac{1}{2}.\]
\item 	À l'aide d'une intégration par parties, calculer $\displaystyle\int_{0}^1 x\text{e}^{2x}\:\text{d}x$ et en déduire la valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Les valeurs des probabilités seront arrondies au millième.}

\medskip

On considère la production de lampes pour vidéoprojecteurs. 

On admet que la variable aléatoire $T$ qui, à toute lampe choisie au hasard dans la production, associe sa durée de vie suit une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le constructeur annonce que la durée de vie moyenne de ce type de lampe est de \np{2000}~heures.

En déduire la valeur de $\lambda$.
\item 	Quelle est ta probabilité pour que la durée de vie d'une telle lampe soit supérieure à \np{4000}~heures ?
\item 	Déterminer le réel $t$ tel que $P( T \leqslant  t) =  0,7$.
\item 	Sachant qu'une lampe a fonctionné plus de \np{2000}~heures, quelle est la probabilité pour qu'elle tombe en panne avant \np{4000}~heures ?
\end{enumerate}
\end{document}