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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{Session 2001}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2001 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,5cm}

\textbf{ÉPREUVE OBLIGATOIRE}
  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\emph{Un règlement administratif concerne les trois catégories d'individus suivantes :}

\emph{\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] les hommes de moins de $50$ ans ;
\item[$\bullet~$] les non salariés ayant $50$ ou plus de $50$ ans ;
\item[$\bullet~$] les femmes qui sont
	\begin{itemize}
		\item  soit salariées ;
		\item   soit non salariées et qui ont moins de $50$ ans.
	\end{itemize}
\end{itemize}
On définit quatre variables booléennes $h,~ a,~ s,~ r$ ainsi :}

\emph{$x$ désignant un individu quelconque,}

\emph{$h = 1$ si $x$ est un homme ($h = 0$ sinon) ;}

\emph{$a = 1$ si $x$ est âgé (e) de $50$ ans ou plus de 50 ans ($a = 0$ sinon) ;}

\emph{$s = 1$ si $x$ est salarié (e) ($s = 0$ sinon) ;}

\emph{$r = 1$ si $x$ est concerné (e) par le règlement ($ = 0$ sinon).}

\begin{enumerate}
\item  Quels sont les individus $x$ pour lesquels on a $h \cdot  \overline{a} = 1$ ?
\item  On admet que $r = h \cdot  \overline{a} + \overline{s} \cdot  a + \overline{h} \cdot  \left(s + \overline{s} \cdot  \overline{a}\right).$
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter $r$ par une table de Karnaugh (ou une table de vérité).
		\item  En déduire une expression simplifiée de $r$.
		\item  Quelle est la catégorie d'individus non concernés par le règlement ?
 	\end{enumerate}
\item En utilisant uniquement le calcul booléen, montrer que
\[h . \overline{a} + \overline{s} \cdot  a +  \overline{h} \cdot  \left(s + \overline{s} \cdot  \overline{a}\right) = \overline{a} + \overline{s} + \overline{h}.\]
(On pourra utiliser les propriétés suivantes, vérifiées par deux variables booléennes $y$ et $z$ :
\[h + y \cdot z = y\quad  \text{et} \quad  y + \overline{y}\cdot  z = y + z).\]
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

La société TOPGAMES a lancé fin décembre $1999$ un nouveau jeu sur console.\\
Le nombre de jeux vendus au cours des $12$~mois de l'an $2000$ a fait l'objet d'une statistique dont voici un extrait (le mois $1$ est janvier $2000$) :\\

\newcolumntype{M}[1]{>{\raggedright} m{#1}}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|M{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
mois& 1& 2& 3 &4&  \ldots & 10 &11& 12 \tabularnewline \hline
nombre de jeux vendus (milliers)&10& 10& 25& 30&\ldots & 57& 60& 61\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

La société sait par expérience que, pour ce genre de jeu, les ventes croissent pendant une certaine période pour atteindre un maximum, puis chutent plus ou moins rapidement, les consommateurs attendant alors la nouvelle version du jeu ou un autre jeu.

Les précédents lancements ont montré que le nombre de jeux (en milliers) vendus chaque mois, peut être
modélisé par une fonction $V$ du type :
\[V(x) = x\left(A - B\sqrt{x}\right).\]
où $A$ et $B$ sont deux constantes réelles et où $x$ désigne la date exprimée en mois ($x = 1$ représentant janvier $2000$).

\medskip

\textbf{Partie A}
\emph{Détermination du modèle}\\
Calculer les deux constantes $A$ et $B$ à $10^{-3}$ près si on impose à la fonction $V$ de coïncider avec la statistique aux deux mois extrêmes, c'est-à-dire :
\[V (1) = 10\quad  \text{et} \quad  V(12) = 61.\]
(On donnera les valeurs arrondies à $10^{-2}$ près des deux constantes cherchées).

\medskip

\textbf{Partie B}

\emph{Étude du modèle}

On choisit le modèle, où la fonction $V$ est définie, pour tout nombre réel $x\geqslant  1$, par
\[V(x) = 2 x \left(6 - \sqrt{x} \right).\]
\begin{enumerate}
\item  Résoudre l'équation $V(x) = 0$.
\item  Calculer $V'(x)$ et montrer que : $V'(x) = 3\left(4 - \sqrt{x} \right)$.\\
En déduire le tableau de variations de $V$.
\item  Recopier et compléter le tableau de valeurs (arrondies à l'entier le plus proche) :\\

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{11}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$& 1& 4& 8& 12& 16& 20& 24& 28& 32& 36\\ \hline
$V(x)$& 10&&&&&&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Tracer la courbe représentative de la fonction $V$, dans le plan rapporté à un repère orthogonal, pour les abscisses appartenant à l'intervalle [1~; ~36], en prenant pour unités :
\begin{itemize}
\item [] 1 cm pour 2 mois sur l'axe des abscisses,
\item [] 1 cm pour 10 milliers de jeux sur l'axe des ordonnées.
\end{itemize}
\begin{center}
\emph{On utilisera pour ce tracé le format paysage.}
 \end{center}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\emph{Utilisation du modèle}

On admet que le modèle de la partie B est utilisable depuis le début de l'année 2000 jusqu'à la fin 2002.
\begin{enumerate}
\item  À quel mois de quelle année le nombre de jeux vendus sera t-il maximal ?

\item  La société décide d'arrêter la fabrication du jeu le mois pour lequel le nombre de jeux vendus descendra en dessous de \np{10 000}.

Déterminer graphiquement à quelle date (donner le mois et l'année) le nombre de jeux vendus deviendra inférieur à \np{10 000}.

(Faire apparaître les tracés permettant cette détermination).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

Une compagnie a un contrat d'entretien pour 300~ascenseurs. On admet que, chaque semaine, la probabilité de panne d'un ascenseur est de $\dfrac{1}{75}$.

On suppose l'indépendance entre les pannes d'un même ascenseur ainsi que de deux ascenseurs différents.

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à toute semaine, associe le nombre de pannes du parc complet des ascenseurs.

\medskip

\textbf{Partie A Étude de} \boldmath $X$ \unboldmath

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Indiquer pourquoi $X$ suit une loi binômiale de paramètres $n = 300$ et $p = \dfrac{1}{75}$.
\item  Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité pour que lors d'une semaine il y ait (strictement) moins de 2~pannes.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B Approximation de}\boldmath $X$.\unboldmath

\medskip

On admet que la loi de $X$ peut être approchée par une loi de Poisson, de paramètre $m$.

On désigne par $Y$ une variable aléatoire qui suit cette loi de Poisson.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Indiquer pourquoi $m$ est égal à 4.
\item  En utilisant la variable $Y$, calculer une valeur approchée de la probabilité pour que la compagnie ait à intervenir plus de 6 fois durant une semaine. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$ près.
 \end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie C Sécurité}

\medskip

On considère la variable aléatoire $Z$ qui, à tout adulte, usager d'ascenseurs, choisi au hasard, associe son poids en kg. On suppose que $Z$ suit la loi normale d'espérance mathématique 70~kg et d'écart type 15~kg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer, à $10^{-2}$ près, la probabilité pour qu'un adulte, usager d'ascenseurs, choisi au hasard, pèse moins de 90~kg.

Un ascenseur peut supporter 500~kg avant la surcharge. Les normes de sécurité spécifient que la probabilité de surcharge ne doit pas dépasser \np{0,0001}.

On admet que le poids total de $n$ usagers adultes d'ascenseurs, dont les poids sont indépendants, est une variable aléatoire $S$ qui suit la loi normale d'espérance mathématique $70 n$ et d'écart type $15\sqrt{n}$.
\item   Calculer les probabilités de surcharge $p_{5}$ lorsqu'il y a 5 adultes dans l'ascenseur et $p_{6}$ lorsqu'il y a 6 adultes dans l'ascenseur.

En déduire le nombre maximal de personnes autorisées à emprunter l'ascenseur.
\end{enumerate}
\end{document}