%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{graphicx} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \usepackage[np]{numprint} \begin{document} \setlength\parindent{0mm} \rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{Session mai 2010}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\ session mai 2010 - Informatique de gestion}} \vspace{0,25cm} \textbf{Épreuve obligatoire} \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip \textbf{Première partie} On considère la matrice carrée d'ordre 5 : $A = \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &1 &1 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 1 &0 &0 &1 &0 \\ 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}$ \medskip Recopier et compléter les matrices : \[A^2= \begin{pmatrix} 0 &1 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ - &- &- &- &-\\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ \end{pmatrix} \quad \text{et} \quad A^4 = \begin{pmatrix} 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ - &- &- &- &- \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ 0 &0 &0 &0 &0 \\ \end{pmatrix}.\] (On rappelle que $A^2 = A \times A$ et que $A^4 = A^2 \times A^2$) \medskip \textbf{Deuxième partie} \medskip Soit (\textbf{G}) le graphe à 5 sommets $(a,~b,~c,~d,~e)$ dont la matrice d'adjacence est $A$. \begin{enumerate} \item D'après les calculs de la première partie: \begin{enumerate} \item Combien existe-t-il de chemins de longueurs 2 ayant pour origine le sommet $c$ ? \item Existe-t-il dans ce graphe un chemin hamiltonien ? \end{enumerate} \item Faire le tableau des prédécesseurs du graphe (\textbf{G}). Donner le niveau de chacun des sommets. On pourra par exemple utiliser l'algorithme suivant : \setlength\parindent{5mm} \begin{itemize} \item les sommets sans prédécesseur sont de niveau 0 ; \item on barre les sommets de niveau 0. Les sommets qui n'ont alors plus de prédécesseur sont de niveau 1 ; \item on barre les sommets de niveau 1. Les sommets qui n'ont alors plus de prédécesseur sont de niveau 2 ; \item on continue jusqu'à ce qu'on ait établi le niveau de chaque sommet. \end{itemize} \setlength\parindent{0mm} \item Dessiner le graphe CG) ordonné par niveau. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 10 points} \medskip \emph{Dans cet exercice, tous les résultats seront arrondis au millième.} \medskip La société \og Tournesol \fg{} construit et commercialise son \og Triphone \fg{} : nouvel appareil assurant les fonctions d'un ordinateur portable, d'un téléphone portable et d'un agenda électronique. Les pourcentages des ventes de ce nouvel appareil au sein du segment \og haut de gamme \fg{} sont donnés, au fil des semaines, dans le tableau ci-dessous. \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$ : rang de la semaine& 0 &1 &2 &3 &4 &5& 6\\ \hline $y_{i}$ : pourcentage des ventes& 0,3 &1,1 &2,2 &4,1 &7,4 &12,5 &17,9\\ \hline \end{tabularx} \medskip \textbf{Première partie :} recherche d'une première modélisation \medskip \begin{enumerate} \item Représenter sur papier millimétré le nuage de points défini par la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)_{i = 1,\ldots, 7}$. On prendra comme unités graphiques : 1 cm pour 1 semaine en abscisses (entre 0 et 15) 1 cm pour 2\:\% en ordonnées (entre 0 et 40) \item La disposition de ces points suggérant qu'un ajustement affine n'est pas le mieux adapté à la situation, on s'intéresse à la série statistique $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)_{i = 1,\ldots, 7}$ où, $z_{i} = \ln y_{i}$ pour $i = 1, \ldots, 7$. Reproduire et compléter le tableau suivant : \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x_{i}$& 0 &1 &2 &3 &4 &5& 6\\ \hline $y_{i}$&0,3& 1,1 &2,2 &4,1 &7,4 &12,5 &17,9\\ \hline $z_{i} = \ln y_{i}$&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item À l'aide de la calculatrice, donner le coefficient de corrélation des séries $\left(z_{i}\right)$ et $\left(x_{i}\right)$ et interpréter ce résultat. \item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite de régression de $z$ en $x$. \item Montrer dans ces conditions que $y$ peut s'exprimer en fonction de $x$, à l'aide de la fonction $f$ définie par \[f(x) = 0,472 \text{e}^{0,655x}.\] \item Calculer $f(9)$. Que penser de ce résultat? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie :} recherche d'une meilleure modélisation \medskip On décide d'envisager une autre modélisation et pour cela on considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~+ \infty[$ par \[g(x) = \dfrac{30}{1+60\text{e}^{-0,75x}}\] \begin{enumerate} \item Étude du sens de variation de la fonction $g$ \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout nombre réel $x \geqslant 0,~ g'(x) = \dfrac{1350\text{e}^{-0,75x}}{\left(1+60\text{e}^{-0,75x} \right)^2}$. \item Étudier le signe de $g'(x)$ ; et en déduire le sens de variation de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. \end{enumerate} \item Étude des limites \begin{enumerate} \item Déterminer la limite, quand $x$ tend vers $+\infty$, de la fonction $h$ définie sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ par $h(x) = \text{e}^{-0,75x}$ et en déduire la limite de la fonction $g$ en $+\infty$. \item Quelle interprétation graphique peut-on donner de ce résultat ? \item Traduire ce résultat en terme d'évolution des pourcentages de ventes du \og Triphone \fg. \end{enumerate} \item Représenter graphiquement la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~;~15]$ dans le même repère que le nuage de points précédent. \item Les objectifs commerciaux du \og Triphone\fg sont atteints lorsque le pourcentage des ventes atteint 25\,\% du segment \og haut de gamme \fg. Résoudre graphiquement l'équation $g(x) = 25$ et préciser à partir de quelle semaine les objectifs commerciaux sont atteints. (On fera figurer sur le graphique tous les traits indiquant la méthode de lecture). \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 6 points} \medskip Le \og Triphone \fg est équipé d'une batterie révolutionnaire de longue durée, mais dont les performances sont encore irrégulières. \medskip \textbf{Première partie} \emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés avec la précision de la table} \medskip Une batterie étant choisie au hasard dans le stock de l'entreprise, on admet que son autonomie est une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $m = 12$~heures et d'écart-type $s = 2$~heures. \begin{enumerate} \item Calculer la probabilité $p( X \leqslant 15)$ que l'autonomie de la batterie soit inférieure à $1$5~heures. \item Calculer la probabilité que l'autonomie de la batterie soit supérieure à $8$~heures. \item Déterminer le nombre réel positif $h$ tel que $p (12 - h \leqslant X \leqslant 12 + h) = 0,95$. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Deuxième partie} \emph{Dans cette partie, les résultats seront arrondis au dix millième} \medskip Pour assurer sa suprématie sur la concurrence, la société \og Tournesol\fg décide de ne pas commercialiser les batteries dont l'autonomie serait inférieure à $8$~heures. On a déterminé statistiquement que ces batteries représentent 2\:\% de la production. À la sortie de la chaîne de fabrication, on prélève un lot de $50$~batteries. La production de batteries est suffisante pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un prélèvement successif avec remise. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $50$~batteries prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de batteries non commercialisables. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité de la variable aléatoire Y? Donner les paramètres de cette loi. \item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans un tel lot exactement 2 batteries non commercialisables ? \item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans un tel lot au moins 2 batteries non commercialisables ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Troisième partie} \emph{Dans cette partie, les résultats seront donnés avec la précision permise par la table} \medskip On prélève cette fois un lot de 200~batteries, exactement dans les mêmes conditions que dans la deuxième partie. On note $Y'$ la variable aléatoire qui fait correspondre à chaque lot le nombre de batteries non commercialisables. \begin{enumerate} \item On admet que cette variable aléatoire $Y'$ peut être approchée par une variable aléatoire $Z$ qui suit une loi de Poisson. Démontrer que le paramètre de cette loi $Z$ est 4. \item Quelle est la probabilité qu'un lot ne contienne aucune batterie non commercialisable? \item Quelle est la probabilité qu'il y ait dans un lot au plus trois batteries non commercialisables ? \end{enumerate} \end{document} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% facultatif \end{document}