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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Polynésie}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session mai  2010}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie~\decofourright\\ session mai 2010 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\large Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip
 
\emph{Les questions $1.$ et $2.$ peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On considère l'équation différentielle notée 

\[\left(\text{E}_{1}\right)   :\quad y' + y = - \text{e}^{-x}\]

où $y$ est une fonction définie et dérivable sur l'ensemble $\R$ des nombres réels. 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre l'équation différentielle notée $\left(\text{E}_{0}\right) : y' + y = 0$. 
		\item Démontrer que la fonction $g$ définie pour tout nombre réel $x$ par 
		
$g(x) = -x \text{e}^{-x}$ est une solution particulière de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$. 
		\item Déduire des questions précédentes la solution générale de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$. 
		\item Déterminer la solution particulière $h$ de l'équation différentielle $\left(\text{E}_{1}\right)$ telle que $h(1) = 0$.
	\end{enumerate} 
\item On note $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par : 

\[f(x) = (1 - x)\text{e}^{-x}\]

et $u$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $u(x) = \text{e}^{-x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Donner le développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction $u$. 
		\item En déduire un développement limité à l'ordre 2 au voisinage de 0 de la fonction $f$.
	\end{enumerate} 
\item On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère du plan et $\mathcal{T}$ la tangente à $\mathcal{C}$ en son point A d'abscisse $0$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déduire de ce qui précède une équation de la droite $\mathcal{T}$. 
		\item Étudier la position relative de $\mathcal{C}$ et $\mathcal{T}$ au voisinage du point A.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip 
 
\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante}

\medskip
 
Une usine fabrique des ampoules électriques dont la puissance indiquée est 20~W.

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
Pour vérifier la conformité des ampoules fabriquées, on prélève au hasard un échantillon de 25~ampoules dans la production d'une journée. On admettra que la quantité d'ampoules produites en une journée est suffisante pour que l'on puisse considérer ce prélèvement comme un prélèvement avec remise. La moyenne de l'échantillon est $\overline{x} = 20,12$~W avec un écart-type $s = 0,49$~W.
 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation ponctuelle de la puissance moyenne $m$ et de l'écart-type $\sigma$ de l'ensemble de la production. (on arrondira à 0,01 près si nécessaire). 
\item On suppose que la variable aléatoire $\overline{X}$ qui, à tout échantillon de 25~ampoules, associe sa puissance moyenne, suit la loi normale de moyenne $m$ et d'écart type $\dfrac{\sigma}{\sqrt{25}}$. Déterminer un intervalle de  confiance de la moyenne $m$ avec le coefficient de confiance de 95\:\%.
\end{enumerate}
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip

On admet d'autre part, que la variable aléatoire $T$ qui, à une ampoule choisie au hasard dans le stock, associe sa durée de vie en heures suit la loi exponentielle de paramètre $\lambda = \np{0,000125}$.
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le temps moyen de bon fonctionnement d'une ampoule. 
\item Calculer la probabilité qu'une ampoule soit encore en état de marche au bout de \np{10000}~heures. On donnera le résultat arrondi au millième. 
\item Calculer la probabilité qu'une ampoule tombe en panne avant \np{5000}~heures. On donnera le résultat arrondi au millième. 
\end{enumerate}
\end{document}