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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Polynésie Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{10 mai 2011}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Polynésie ~\decofourright\\ session 10 mai 2011 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 3 points}

\medskip

Alain et Catherine organisent une soirée pour des membres de leur club informatique. 

Ils décident que pour être invité il faut :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] être ami d'Alain et de Catherine; 
\item[$\bullet~~$] ou ne pas être ami d'Alain, mais être ami de Catherine ; 
\item[$\bullet~~$] ou ne pas être ami de Catherine, mais jouer au bridge.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Pour un membre quelconque, on définit les variables booléennes suivantes par
: 
$a = 1$ s'il est un ami d'Alain,
 
$b = 1$ s'il joue au bridge,
 
$c = 1$ s'il est un ami de Catherine.
 
\begin{enumerate}
\item Écrire la fonction booléenne $f(a,\,b,\,c)$, qui traduit le fait qu'un membre du club soit invité. 
\item Donner le tableau de Karnaugh de cette fonction. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Xavier est un ami d'Alain, mais pas de Catherine.
		 
Est-il nécessairement invité ? Justifier. 
		\item Vincent n'est pas un ami d'Alain, mais joue au bridge.
		 
Est-il nécessairement invité ? Justifier.
	\end{enumerate} 
\item Simplifier au maximum la fonction booléenne $f(a,\,b,\,c)$, à l'aide du tableau de Karnaugh. 
\item Écrire la règle de décision d'inviter un membre du club informatique de la façon la plus simple possible.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip
 
\textbf{Partie A : probabilités élémentaires et conditionnelles}

\medskip
 
Afin d'optimiser la fiabilité des cartes de fidélité d'une grande enseigne de distribution, une procédure de vérification a été mise en place. Cependant, il peut se produire deux types d'erreurs de contrôle :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] des cartes de fidélité sans défaut peuvent être rejetées ; 
\item[$\bullet~~$] des cartes de fidélité avec défaut peuvent être acceptées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Sur les \np{100000} dernières cartes fabriquées, on a observé que :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 0,5\,\% des cartes de fidélité présentent un défaut; 
\item[$\bullet~~$] 0,6\,\% des cartes de fidélité sans défaut sont rejetées ; 
\item[$\bullet~~$] 99\,\% des cartes de fidélité avec défaut sont rejetées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\end{enumerate} 

\begin{enumerate}
\item Reproduire sur la copie et compléter le tableau suivant : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Avec défaut& Sans défaut &Total\\ \hline
Cartes rejetées &&&\\ \hline
Cartes acceptées&&& \\ \hline
Total &&&\np{100000}\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item On prélève au hasard une carte parmi ces \np{100000}~cartes.
 
On considère les évènements suivants :
 
$D$ : \og la carte de fidélité présente un défaut \fg{} ;
 
$A$ : \og la carte de fidélité est acceptée après contrôle \fg. 
 
On rappelle que $P_{B}(A)$ est la probabilité que l'évènement $A$ soit réalisé, sachant que l'évènement $B$ est réalisé. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_{A}\left(\overline{D}\right)$. Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dix millième. 
		\item Calculer la probabilité qu'une carte qui a été rejetée ait un défaut. Donner le résultat sous forme décimale, arrondi au dix-millième. 
Quelle remarque suggère ce résultat ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B : loi de Poisson}

\medskip
 
Un magasin de l'enseigne organise un tirage au sort pour l'anniversaire de son ouverture, et distribue durant plusieurs jours des cartes à gratter dont certaines permettent de gagner un cadeau. Le nombre de cadeaux \og grands gagnants\fg est en moyenne de 5 par jour.
 
On considère la variable aléatoire $X$ qui comptabilise le nombre de \og grands gagnants\fg par jour. 

On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda = 5$. 
Les résultats de calculs de probabilités seront arrondis au centième. 

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(X = 5)$. 
\item Déterminer $P(X > 10)$. 
\item Soit $N$ le nombre de cadeaux \og grands gagnants \fg{} que le magasin a en stock chaque jour. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la plus petite valeur de l'entier $N$ tel que $p(X \leqslant N) \geqslant 0,85$. 
		\item Interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C : loi normale}

\medskip
 
On interroge un client choisi au hasard parmi l'ensemble des clients possédant la carte de fidélité.

Soit $Y$ la variable aléatoire qui donne le montant de ses achats par semaine.
  
On admet que la variable aléatoire $Y$ suit la loi normale de moyenne 40 et d'écart-type 6.
 
Tous les résultats de calculs de probabilités seront donnés sous forme décimale, arrondie au centième, en utilisant la calculatrice ou la table.
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $P(34 \leqslant Y \leqslant 46)$. 
\item Calculer la probabilité pour que le montant des achats dépasse 30~\euro. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

Un procédé de fabrication industrielle d'un produit nécessite l'incorporation régulière d'un adjuvant, qui se dégrade au cours du temps. La quantité d'adjuvant dans le produit varie donc en fonction du temps.
 
Au début du procédé (à $t = 0$), on incorpore 4 litres de cet adjuvant. Au bout du temps $t$, exprimé en heures, la quantité d'adjuvant, exprimée en litres, présente dans le produit est donnée par :
 
\[f(t) = 4\text{e}^{-t\ln 2}.\]

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer la quantité d'adjuvant dans le produit au bout de 1 heure, puis au bout de 2 heures. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $\displaystyle\lim_{t \to + \infty} f(t)$. 
		\item Déterminer une expression de $f'(t)$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[,\, f'$ désignant la fonction dérivée de la fonction $f$. 
		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ et dresser son tableau de variations.
	\end{enumerate} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Sur la feuille \textbf{annexe, à rendre avec la copie}, compléter le tableau de valeurs et représenter la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4]. 
		\item Déterminer graphiquement à partir de quel instant, noté $t_{1}$, la quantité d'adjuvant présente dans le produit devient inférieure à 0,5~litre.
		 
On laissera apparents les tracés permettant cette lecture. 
		\item Déterminer, par le calcul, à partir de quel instant, noté $t_{2}$, la quantité présente dans le produit devient inférieure à $0,125$ litre.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
On considère la suite $\left(u_{n}\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $u_{n} = f(n)$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Établir que, pour tout entier naturel $n,\, u_{n} = \dfrac{4}{2^n}$. 
		\item Montrer que la suite $\left(u_{n}\right)$ est une suite géométrique de raison $q = \dfrac{1}{2}$. On précisera la valeur du premier terme.
	\end{enumerate} 
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $R_{n} = u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n}$.
 
\emph{On rappelle que la somme des termes consécutifs d'une suite géométrique de raison $q$ distincte de $1$ est égale à} : 

\[u_{0} + u_{1} + \cdots + u_{n} = u_{0}\dfrac{1 - q^{n+1}}{1 - q}\]

Établir que, pour tout entier naturel $n,\, R_{n} = 8 \left(1 - \dfrac{1}{2^{n+1}} \right)$. 
\item Déterminer $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} R_{n}$. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C : application au procédé de fabrication}

\medskip
 
Toutes les heures, on incorpore à nouveau 4~litres d'adjuvant dans le mélange. On admet que la quantité d'adjuvant présente dans le produit au bout de $n$ heures est modélisée par le nombre $R_{n}$ 
défini dans la partie B.
 
Ainsi, la quantité d'adjuvant présente dans le produit au bout d'une heure est 

$R_{1} = u_{0} + u_{1}$. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer à partir de quel nombre d'heures $n$ de ce traitement, la quantité Rn d'adjuvant atteint $7,75$~litres. 
\item On estime que si la quantité d'adjuvant présente dans le produit dépasse 9~litres, alors le produit n'a plus les propriétés requises. En incorporant, comme décrit ci-dessus, 4~litres d'adjuvant toutes les heures, y a-t-il un risque d'atteindre cette quantité ? Expliquer brièvement. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}

\vspace{1cm}
 
\textbf{à rendre avec la copie}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$t$&0  &0,5 &1 &1,5 &2 &2,5 &3 &3,5 &4\\ \hline  
$f(t)$, arrondi au dixième&&&&&&&&&\\ \hline 
\end{tabularx}

\vspace{1cm}
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\end{center}
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