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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Polynésie session 2008 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Sur un parking d'hôpital, les stationnements ne sont autorisés que dans les cas suivants :

\setlength\parindent{8mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] en semaine, hors des places réservées, pour le personnel ;
\item[$\bullet~$] en semaine, moins d'une heure, hors des places réservées, pour les visiteurs ;
\item[$\bullet~$] le dimanche, sur les places réservées, pour le personnel ;
\item[$\bullet~$] le dimanche, sans condition de durée, hors des places réservées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On définit les variables \emph{booléennes} $p,~ d,~ h,~ r$, et $a$, définies pour tout individu $x$ par les conditions :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] $p=1$ si $x$ est un membre du personnel ;
\item[] $d=1$ si $x$ veut stationner un dimanche ; 
\item[] $h=1$ si $x$ veut stationner moins d'une heure;
\item[] $r = 1$ si $x$ veut stationner sur une place réservée ;
\item[] $a= 1$ si $x$ a l'autorisation de stationner.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

	\begin{enumerate}
		\item  Quels sont les individus  pour lesquels $\overline{p}dh = 1$ ?
		\item  Par quel booléen peut-on remplacer la phrase \og un membre du personnel désire stationner toute la journée sur une place réservée \fg ? 
		\item  Écrire $a$ en fonction de $p,~ d,~ h$ et $r$, sous forme d'une somme de quatre termes.
	\end{enumerate}
\item  Dans cette question, on s'intéresse seulement aux visiteurs.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle valeur prend alors le booléen $p$ ? Montrer que, dans ce cas \\$a =  d\overline{r}+ \overline{d}h\overline{r}$.
		\item 	À l'aide d'une table de Karnaugh, simplifier $a$ sous forme d'une somme de 2 termes chaque terme étant un produit de 2 facteurs.
		\item 	Un visiteur désire passer deux heures avec sa femme hospitalisée un mercredi après-midi. Peut-il se garer sur le parking de l'hôpital ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on s'intéresse seulement aux membres du personnel.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer, par un calcul détaillé, que $a = d + \overline{r}$.
		\item En déduire une expression de $\overline{a}$.
		\item Donner le règlement s'appliquant aux membres du personnel sous forme d'une interdiction.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Les parties A, B, C sont indépendantes.

\medskip

Les probabilités demandées seront arrondies au millième.
 
\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les robots de cuisine \og Cook \fg sont fabriqués dans deux usines, une   à Albi, l'autre à Bordeaux.

60\,\% d'entre eux viennent d'Albi, et 1,7\,\% de ceux-ci sont défectueux.

Le reste est fabriqué à Bordeaux et 5\,\% de la production bordelaise est défectueuse.

\medskip

On notera $A$ l'évènement: \og le robot vient d'Albi \fg.

On notera $B$ l'évènement : \og le robot vient de Bordeaux \fg.

On notera $D$ l'évènement : \og le robot est défectueux \fg.

\medskip

On pourra s'aider d'un tableau à double entrée ou d'un arbre, pour répondre aux questions suivants :
\begin{enumerate}
\item  Un client reçoit un robot. Calculer la probabilité qu'il soit défectueux.
\item  Le robot reçu est défectueux. Calculer la probabilité qu'il vienne de Bordeaux.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $C$ la variable aléatoire égale au co\^ut de réparation d'un robot défectueux, exprimé, en euros. On admet que $C$ suit la loi normale $\mathcal{N}(60~;~ 10)$.
\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité $P(C > 54)$.
\item Déterminer le réel $h$ tel que $P(60 - h \leqslant  C \leqslant 60+h) = 0,85$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour la fête des mères. un commerçant a commandé un lot de 100~robots. On admet que chaque robot a une probabilité $0,03$ d'être défectueux, et que les états des robots sont indépendants les uns des autres. On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque lot de 100~robots, associe le nombre de robots défectueux dans ce lot.

\begin{enumerate}
\item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Justifier.
\item Calculer la probabilité $P(2 \leqslant  X < 5)$.
\item On approche la loi de $X$ par une loi de Poisson $Y$ de paramètre $\lambda =  3$.
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier la valeur choisie pour $\lambda$. 
		\item  Calculer $P(2 \leqslant  Y <5)$. 
		\item  Calculer $P(Y  \geqslant  5)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La chaîne d'hypermarchés CARCHAN commercialise des VTT. On a relevé le nombre $\left(y_{i}\right)$ de VTT vendus en un mois, selon le prix proposé ($x_{i}$ en euros). Les données sont fournies dans le tableau suivant :\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&90	&120	&150	&180&210	&240	& 270	&300 \\ \hline
$y_{i}$&319	& 258	&203	&164&133	&105	&83	& 69\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Représenter le nuage de points de la série $\left(x_{i}~ ;~y_{i}\right)$. Un ajustement linéaire ne semblant pas judicieux, on se propose alors d'effectuer un ajustement linéaire pour la série $\left(x~; ~z_{i}\right)$ où $z_{i} = \ln y_{i}$.

\item Dans le tableau suivant, compléter les valeurs de $z_{i}$ arrondies au centième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&90	&120	&150	&180&210	&240	& 270	&300 \\ \hline
$z_{i}$&5,77	&	&	&&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\item Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $r$ de cette série, ainsi qu'une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ sous la forme $z = mx+p$.

Les réels $r,~m,~ p$ seront arrondis au dix-millième.

\item En déduire qu'on peut estimer le nombre $y$ de VTT vendus en un mois en fonction du prix $x$ proposé par une formule du type : $y =  a\text{e}^{bx}$ où $a$ et $b$ sont deux réels que l'on déterminera ($a$ sera arrondi à l'unité, et $b$ au dix-millième).
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La société CARCHAN décide de ne commercialiser qu'un seul type de VTT. On admet que le nombre $y$ de VTT vendus en un mois dans les hypermarchés de la société est donné par la formule :

\[y = f(x) = 621\text{e}^{- \frac{x}{135}}\]

où 	$x$, réel positif, est le prix de vente (en euros) d'un VTT.

\begin{enumerate}
\item La société décide de ne pas commercialiser de VTT dont le prix trop élevé entraînerait un nombre mensuel de ventes inférieur à 30. Calculer, à un euro près, le prix de vente unitaire à ne pas dépasser pour qu'il en soit ainsi.

\item 	Soit la fonction $g$ définie sur l'intervalle $[0,+\infty[$ par :

\[ g(x) = x f(x) = 621 x\text{e}^{- \frac{x}{135}}.\]

	\begin{enumerate}
		\item Que représente $g(x)$ du point de vue économique ?
		\item Montrer que $g'(x) = 4,6\text{e}^{- \frac{x}{135}}(135 - x)$.
		\item Étudier les variations et dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$.(On admettra que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = 0$).
	\end{enumerate}
\item La courbe représentative de la fonction g est donnée ci-après.
		
\medskip

\psset{xunit=0.0175cm,yunit=0.000386cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(600,35000)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=40000](0,0)(600,35000)
\multido{\n=0+50}{13}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](\n,0)(\n,35000)}
\multido{\n=0+5000}{8}{\psline[linewidth=0.3pt,linecolor=orange](0,\n)(600,\n)\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000]{0}{600}{621 x mul 2.71828 x 135 div exp div}
\uput[u](135,30841.2){$M$}
\psline{<->}(60,30841.2)(210,30841.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
		\item Résoudre graphiquement l'inéquation $g(x) \geqslant   \nombre{15000}$.
		\item Préciser, à l'aide de la question 2, les coordonnées du point $M$ arrondies à l'entier le plus proche. 
		\item Interpréter les coordonnées précédentes.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}