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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Polynésie Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Polynésie Informatique de gestion session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

Une entreprise assure la production de deux types de calculatrices C$_{1}$ et C$_{2}$ en quantités (hebdomadaires) respectives $x$ et $y$.

\medskip

Le coût des éléments installés et le nombre d'heures de travail sont donnés pour chaque calculatrice dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&	C$_{1}$& 	C$_{2}$\\ \hline
Coût des éléments (en \euro)&	6&	8\\ \hline
Nombre d'heures de travail &	1&	1,5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

Un programme de production hebdomadaire peut se représenter par la matrice $X = \begin{pmatrix}
x\\y
\end{pmatrix}$.\\
Cette production occasionne un coût $c$ et un nombre $t$ d'heures de travail. Ces deux éléments sont donnés dans la matrice $Y =  \begin{pmatrix}
c\\
t
\end{pmatrix}$. Enfin on appelle $A$ la matrice issue du tableau : $A = \begin{pmatrix}
6&8\\
1&1,5\\
\end{pmatrix}$.\\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Écrire une égalité matricielle reliant $A,~ X$ et $Y$ qui traduit la production de l'entreprise.
\item Durant une semaine, l'entreprise a produit 200~calculatrices C$_{1}$ et 800~calculatrices C$_{2}$. Par un calcul matriciel, déterminer le coût total et le nombre d'heures de travail pour la production de cette semaine.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

On note $B$ la matrice : $B = \begin{pmatrix}
1,5&-8\\
-1&6\\
\end{pmatrix}$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Effectuer le produit $B \times A$.
\item Montrer en transformant l'égalité $Y = A \times X$ que $B \times  Y = X$.
\item Durant une autre semaine, l'entreprise fait face à un coût total de \nombre{8400}~\euro{} et \nombre{1450}~heures de travail.

Déterminer par le calcul matriciel le nombre de calculatrices de chaque type fabriquées au cours de cette semaine.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Une entreprise de 20~salariés utilise un parc de 30~ordinateurs.

Les 30~ordinateurs fonctionnent de manière indépendante. On admet que la probabilité pour que dans une journée un ordinateur soit en panne est de $0,075$.

\begin{enumerate}
\item Soit $X$ la variable aléatoire qui, à un jour donné, associe le nombre d'ordinateurs en panne parmi tout le pare pendant cette journée.

\emph{Dans cette question, on fournira tous les résultats sous leur forme arrondie à $3$ décimales.}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$, justifier. 
		\item Calculer la probabilité pour que, parmi les 30~postes, il y ait exactement 2~ordinateurs en panne. 
		\item Calculer la probabilité pour que, parmi les 30~postes, il y ait au moins 2~ordinateurs en panne.
 	\end{enumerate}		
\medskip

\emph{Pour la suite, les résultats seront donnés avec la précision permise par les tables.}

\medskip

\item	Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à un jour donné, associe le nombre d'absents parmi les 20~salariés de l'entreprise. On suppose que $Y$ suit la loi de Poisson de paramètre $1,5$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la probabilité pour qu'il n'y ait aucun absent.
		\item Calculer la probabilité pour qu'il y ait au plus 2 absents.
		\item Quel est le nombre moyen d'absents journalier ?
	\end{enumerate}
\item Soit $D$ la variable aléatoire qui à chaque ordinateur du parc associe sa durée d'utilisation journalière exprimée en heures. On suppose que $D$ suit la loi normale d'espérance $4$ et d'écart type $0,2$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité pour que la durée d'utilisation journalière d'un ordinateur du parc soit supérieure à 4 h 30 min (on rappelle que 4~h 30~min =  4,5~heures). 
		\item  Calculer la probabilité que la durée d'utilisation soit inférieure à 3 h 45 min.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ par
 
\[f(t) = t(a + b \ln t)~ \text{où}~ a~ \text{et}~ b~ \text{sont des nombres réels.}\]

\textbf{Partie A : détermination de $a$ et $b$}

\medskip

On sait que $f$ vérifie les deux conditions : $f(\text{e}) = 2\text{e}$ et $f\left(\text{e}^3\right) =  0$.

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $a$ et $b$ vérifient le système : $\left\{\begin{array}{l c l}
	a + b&=&2\\
	a+3b&=&0\\
	\end{array}\right.$
	
\item  Déterminer les valeurs de $a$ et $b$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B : étude de la fonction}\boldmath  $f$ \unboldmath

\medskip

On admet désormais que $f$ est définie sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ par

\[f(t) = 3t -t \ln t.\]

\begin{enumerate}
\item Étudier $\displaystyle\lim_{t \to 0} f(t)$.
\item 	Étude des variations de $f$ :
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la dérivée $f'$ de $f$ sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$.
		\item  Résoudre l'inéquation $2 - \ln t > 0$ sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$.
		\item  En déduire le signe de $f'$ sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ et dresser le tableau de variations de $f$.
		\item  Calculer la valeur exacte du maximum de $f$.
	\end{enumerate}
\item	Reproduire et compléter le tableau de valeurs suivant (valeurs approchées arrondies au centième) :\\
		
\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$t$	&1	&2	&4	&6	&8	&12	&16 	&20\\ \hline
$f(t)$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item	Représenter la fonction $f$ sur $\left]0~;~\text{e}^3\right]$ dans un repère orthonormal d'unité graphique 1~cm.
\item	Par lecture graphique, et avec la précision permise par cette lecture, indiquer quelles sont les valeurs de $t$ pour lesquelles $f(t) \geqslant  4$.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C : interprétation économique}

\medskip

Une société d'achats en ligne veut analyser le déroulement d'une vente promotionnelle « flash » qu'elle a organisée sur Internet.

Cette vente, d'une durée annoncée de 20~minutes, a provoqué sur son site un flux dont l'intensité a été variable en fonction du temps.

Si on note $t$ le temps en minutes écoulé depuis le départ de l'opération, on admet que $f$(t) est la mesure instantanée de ce flux, cette mesure étant exprimée en milliers d'euros par minute.
 
On suppose qu'aucun achat n'est possible pendant la première minute et que la somme totale, en milliers d'euros, transférée depuis la première minute et jusqu'à la fin des 20~minutes de la vente est modélisée
par l'intégrale : $S = \displaystyle\int_{1}^{20}f(t)\:\text{d}t$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une interprétation graphique de cette intégrale en l'illustrant sur le tracé précédent.

\item Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle [1 ; 20] par 
\[G(t) = \dfrac{t^2}{2}\left(\ln 	t - \dfrac{1}{2}\right).\]

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que $G$ est une primitive de la fonction $g$ définie par $g(t) = t \ln t$.
		\item  Donner une primitive $F$ de $f$ sur l'intervalle [1~;~ 20].
		\item  Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_{1}^{20}f(t)\:\text{d}t$.
		\item  En déduire la valeur de la somme totale transférée depuis la première minute et jusqu'à la fin des 20 minutes (on donnera une valeur approchée arrondie à 10~\euro{} près).
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}