%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}
\usepackage[frenchb]{babel}
\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Polynésie Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Polynésie Informatique de gestion session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

On considère les matrices :

\[M = \begin{pmatrix}
\alpha&0&1&0\\
1&\alpha&0&0\\
0&0&\alpha&0\\
1&0&0&\alpha\\
\end{pmatrix}\quad ;\quad A = \begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
1&0&0&-1\\
0&0&0&0\\
1&0&0&0\\
\end{pmatrix} \quad \text{et} \quad  I = \begin{pmatrix}
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
0&0&1&0\\
0&0&0&1\\
\end{pmatrix}\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la matrice $M^2$, puis la matrice $B = M^2 - A- I$.
\item  Dans la suite on pose $\alpha=1$.\\

Montrer que la matrice $B$ est la matrice 
$\begin{pmatrix}
0&0&1&0\\
1&0&1&1\\
0&0&0&0\\
1&0&1&0\\
\end{pmatrix}$
\item  Déterminer la matrice $B^2$.
\item  La matrice $B$ est la matrice adjacente d'un graphe orienté de sommets $a,~b,~c,~d$.

Donner une représentation géométrique du graphe orienté.
\item  Combien y a-t-il de chemin(s) de longueur 2 ? Préciser leurs extrémités.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

Un laboratoire commercialise un test de dépistage d'une maladie. Une étude statistique a permis d'admettre que 5\,\% de la population est atteinte par cette maladie.

Le test n'est pas totalement fiable :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] lorsque le patient est malade, le test n'est positif que dans 95\,\% des cas,
\item[$\bullet~$] lorsque le patient n'est pas malade, le test est cependant positif dans 1\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $M$ l'évènement \og le patient est malade \fg, et $T$ l'évènement \og le test est positif~\fg.
 
Les probabilités demandées seront arrondies au dix-millième.\\
  
\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip

On considère un patient pris au hasard dans la population.

\begin{enumerate}
\item  Représenter la situation décrite à l'aide d'un arbre ou d'un tableau. \item  Déterminer la probabilité de l'évènement \og le patient est malade et le test est positif \fg.

Calculer $P(T)$. 
\item  Quelle est la probabilité que le patient soit malade sachant que le test est positif ?
\item  Quelle est la probabilité que le patient soit malade sachant que le test est négatif ? 
\item  Le test est considéré comme défectueux si son résultat n'est pas en accord avec l'état réel du patient.
Montrer que la probabilité de l'évènement D \og le test est défectueux \fg est égale à $0,012$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip

En vue d'un contrôle de qualité, le laboratoire constitue des échantillons de 50~tests tirés au hasard dans la production. La production est assez importante pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 50~articles.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à tout échantillon de 50~tests, le nombre de tests défectueux.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par $X$ ? Préciser ses paramètres.
		\item Déterminer la probabilité que l'échantillon compte moins de 3~tests défectueux.
		\item Calculer l'espérance mathématique et l'écart type dc cette loi.
	\end{enumerate}
\item On approche la loi de $X$ par une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le paramètre de cette loi ?
		\item En utilisant cette approximation, déterminer la probabilité que l'échantillon compte moins de 3~tests défectueux.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 10 points}

\medskip

Le service informatique d'une entreprise a modélisé le coût unitaire $y$ (en centimes d'euro) d'une connexion, lorsque son réseau gère simultanément $x$ centaines de connexions, par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

\[ y = f(x) =  \dfrac{\text{e}^{2x} +3}{6\left(\text{e}^x - 1\right)}.\]

On appelle $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal	dont les unités graphiques sont 3~ cm en abscisse et 1~cm en ordonnée.\\

\medskip
 
\textbf{Partie A} Étude d'une fonction auxiliaire $g$.

\medskip

On appelle $g$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par

\[ g(x) =  \text{e}^{2x} -  2\text{e}^x -3.\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que $g(\ln 3) = 0$.
\item  Étude du signe de $g$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $g'(x)$ et étudier son signe sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
		\item 	En déduire le tableau de variations de $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$. (On ne demande pas de calculer la limite de $g$ en $- \infty$).
		\item 	Déterminer le signe de $g(x)$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\textbf{Partie B} Étude de la fonction $f$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $0$ et interpréter graphiquement le résultat.
\item  Montrer que $f(x) =	 \dfrac{\text{e}^x + \frac{3}{\text{e}^x}}{6 - \frac{6}{\text{e}^x}}$. En déduire la limite de $f$ en $+ \infty$.
\item  Montrer que $f'(x)= \dfrac{\text{e}^x g(x)}{6\left(\text{e}^x - 1\right)^2}$. En déduire le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
\item 	Reproduire sur la copie et compléter le tableau de valeurs suivant. (\emph{Les résultats seront donnés sous forme décimale arrondie au centième}).

\medskip

\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$	&0,5	&1	&$\ln 3$	&2	&3\\ \hline
$f(x)$	&	&	&		&	& \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\item 	Tracer la courbe  $\mathcal{C}$ dans le repère \Oij.
\item 	Pour combien de connexions simultanées, le coût unitaire de connexions est-il optimisé ? (On donner le résultat à une unité près).
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C} Étude du coût moyen unitaire de connexion.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $F$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[F(x) = \dfrac{2}{3}\ln \left(\text{e}^x -1 \right) + \dfrac{1}{6}\text{e}^x   - \dfrac{x}{2}\]

est une primitive de $f$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

\item 	Déterminer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle $[\ln 3~;~2]$. On donnera la valeur exacte de $m$ puis une valeur approchée arrondie au centième.

\item 	Quel est le coût unitaire moyen de connexion pour un nombre $n$ de connexions simultanées vérifiant $110 \leqslant  n \leqslant 200$ ?

(On donnera le résultat arrondi à $10^{-4}$ euro près en prenant $1,1$ comme valeur approchée de $\ln 3$).
\end{enumerate}
\end{document}