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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre  2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Informatique de gestion~\decofourright\\
Nouvelle-Calédonie  novembre  2003}}

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 7 points}

\medskip

\emph{Pour cet exercice, on fournira tous les résultats sous leur forme décimale, arrondie à $10^{-3}$ près.}

\medskip

Dans une ville dont la population est très jeune, on sait qu'il y a 39,2\,\% de mineurs (et par conséquent 60,8\,\% d'adultes).
On considère des échantillons non exhaustifs (tirage au hasard et avec remise) de 100~personnes parmi les habitants de cette ville.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Soit $X$ la variable aléatoire qui associe, à chaque échantillon de 100~personnes, le nombre d'adultes qu'il contient.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item Calculer l'espérance mathématique et l'écart-type de cette série.
		\item Calculer la probabilité de l'évènement $(X = 60)$. On prendra \\$\displaystyle\binom{100}{60} = \nombre{1,3746} \times 10^{28}$.
 	\end{enumerate}
\item On approche la variable $X$ par une variable $Y$ suivant une loi normale $\mathcal{N}(m,~\sigma)$.

On précisera la valeur et la signification des paramètres $m$ et $\sigma$.
\item Pour la suite de cet exercice, on prendra $m = 61$ et $\sigma = 4,9$.
	\begin{enumerate}
		\item  On souhaite calculer une valeur approchée de $p(X = 60)$, en utilisant la variable aléatoire $Y$.
		
Pour cela, par correction de continuité, calculer $p(59,5 \leqslant  Y \leqslant  60,5)$.
		\item  On veut calculer la probabilité que l'échantillon contienne au moins 55 adultes. Pour cela, calculer $p(Y \geqslant  54,5)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 7 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous représente, dans un repère orthogonal, la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = 4 + a \text{e}^{2 x} + b\text{e}^{4x}\]

où $a$ et $b$ sont des constantes à déterminer.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-5,-0.5)(1.5,7.5)
\psaxes[linewidth=1.65pt]{->}(0,0)(-5,-0.5)(1.5,7.5)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=1,griddots=10](0,0)(-5,0)(1,7)
\psplot{-3.3}{0.7}{x 2 mul 6 add}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-5}{0.7}{2.71828 2 x mul exp  3 mul 2.71828 4 x mul exp sub 4 add}
\rput(-4,3){Cette droite représente la tangente à la}
\rput(-4,2.5){ courbe $(\mathcal{C})$ au point d'abscisse 0.}
\psframe(-6.1,2.25)(-2,3.4) \psline{->}(-2,3)(-1.2,3.6)
\uput[u](-3,4){$(\mathcal{C})$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Lire graphiquement les valeurs de $f(0)$ et $f'(0)$. En déduire les valeurs de $a$ et $b$.
\item  Démontrer que pour tout $x$ de $\R$ , on a : $f(x) = \left(1 + \text{e}^{2 x}\right)\left(4 - \text{e}^{2 x}\right)$.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  $f$ étant la fonction donnée dans la partie A, calculer la dérivée de $f$ et déterminer la valeur exacte de l'abscisse du point de cette courbe dont l'ordonnée est maximale.

Compléter la figure ci-dessus par la tangente à $(\mathcal{C})$ en ce point.
\item  Calculer la limite de $f$ en $- \infty$. Que peut-on en déduire pour $(\mathcal{C})$ ? Compléter la figure ci-dessus en conséquence.
\item  En étudiant le signe de chacun des facteurs de $f(x)$, déterminer le signe de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~\ln 2]$.
\item Calcul d'une intégrale
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une primitive de la fonction $f$ sur $\R$.
		\item  Calculer l'intégrale $\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} f(x)\:\text{d}x$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\medskip

Le tableau ci-dessous est extrait d'une grille présentant les différents points d'une ville reliés par des lignes de transport en commun avec la durée des trajets en minutes. À ce tableau est associé un graphe dont les sommets sont A, B, C, D, E, F et G.

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{center}\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&A	& B	& C	& D	& E	& F	& G\\ \hline
A	&	& 8	&	&	&	&	& 3\\ \hline
B	&	&	&	&	& 4	&	&\\ \hline
C	&	&	&	&	&	& 6	& 4\\ \hline
D	&10	&	& 9	&	&	&	&\\ \hline
E	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
F	&	& 3	&	&	&	&	&\\ \hline
G	&	& 7	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

Par exemple, dans ce tableau, la cellule contenant le nombre 9 correspond à la durée (9~minutes) du trajet du bus reliant le point de départ de D au point d'arrivée C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Réaliser le tableau des prédécesseurs de ce graphe, et déterminer le niveau de chacun des sommets.
\item  Dessiner le graphe en ordonnant les sommets par niveaux et en marquant la longueur de chaque arc.
\item  Déterminer le ou les trajet(s) de durée minimale permettant d'aller de D à E (on détaillera la méthode utilisée).
\end{enumerate}
\end{document}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

B.T.S. Informatique de Gestion Epreuve obligatoire ? Session 2 003
Nouvelle-Calédonie ? Eléments de correction
Page n° 1
Exercice 1 (7 points)
1. a. On répète 100 fois, de manière indépendante, la même expérience, n'ayant que deux issues possibles :
- "la personne tirée au hasard est un adulte" avec une probabilité p = 0,608 ;
- "la personne tirée au hasard est un mineur" avec une probabilité q = 1 ? p.
La variable X suit la loi binomiale B(100 ; 0,608).
b. Espérance mathématique : E(X) = n p = 100 x 0,608 = 60,8.
Ecart-type : s(X) = ? n p q = ? 100 ×0,608 ×0,392 » 4,882 (valeur arrondie à 10-3 près).
c. p(X = 60) = ?100
60 ? 0,60860 x 0,39240 » 0,080 (valeur arrondie à 10-3 près).
2. m est l'espérance mathématique de la variable Y, elle est égale à celle de X.
s est l'écart-type de la variable Y, il est égal à celui de la variable X.
On a donc : m = 60,8 et s » 4,882.
3. a. p(59,5 £ Y £ 60,5) = p?59,5?61
4,9 ?Y?61
4,9 ?60,5?61
4,9 ? £  p??1,5
4,9 ?Y?61
4,9 ??0,5
4,9 ?
= p??0,5
4,9 ??p??1,5
4,9 ? = p? 1,5
4,9 ??p? 0,5
4,9 ? (par symétrie)
Donc : p(59,5 £ Y £ 60,5) = ??1,5
4,9 ???? 0,5
4,9 ? » P(0,3) - P(0,1) » 0,6179 - 0,5398 = 0,0781
              p(59,5 £ Y £ 60,5) » 0,078 (résultat arrondi à 10-3 près)
b. p(Y ³ 54,5) = p?Y?61
4,9 ?
54,5?61
4,9 ? = p?Y?61
4,9 ??6,5
4,9 ? = p?Y?61
4,9 ?
6,5
4,9 ?
= ??6,5
4,9 ? » P(1,33) » 0,908 (à 10-3 près)
Exercice 2 (7 points)
Partie A
1. Par lecture graphique, on a : f (0) = 6 ; f '(0) = 2 (pente de la tangente).
f (0) = 4 + a e2 x 0 + b e4 x 0 = 4 + a + b ; on en déduit : 4 + a + b = 6, c'est-à-dire : a + b = 2.
f '(x) = 2 a e2 x + 4 b e4 x ; on en déduit : f '(0) = 2 a + 4 b = 2, soit : a + 2 b = 1.
On obtient le système { a?b=2
a?2 b=1
Soustrayons les deux équations membre à membre ; on obtient : - b = 1, c'est-à-dire : b = - 1.
Reportons ce résultat dans la première équation : a ? 1 = 2, d'où : a = 3.
Finalement : a = 3 et b = - 1.
2. (1 + e2 x)(4 - e2 x) = 4 + 4 e2 x - e2 x - e2 x e2 x = 4 + 3 e2 x - e4 x
Par conséquent, on a bien : f (x) = (1 + e2 x)(4 - e2 x).
Partie B
1. f ' (x) = - 4 e4 x + 6 e2 x = 2 e2 x ( - 2 e2 x + 3).
Pour tout réel x, on a : > 0, donc f '(x) est du signe de ( - 2 e2 x + 3).
- 2 e2 x + 3 > 0 Û - 2 e2 x > - 3 Û 2 e2 x < 3 Û e2 x < 1,5 Û ln(e2 x ) < ln 1,5
Û 2 x < ln 1,5 Û x <
ln1,5
2
La fonction est donc croissante sur l'intervalle ] - ¥ ;
ln1,5
2 [ et décroissante sur ]
ln1,5
2 ; + ¥ [.
Le point d'abscisse x0 = ln1,5
2 correspond à la valeur pour laquelle la fonction f est maximale.
La tangente à la courbe (C) en ce point est horizontale.
B.T.S. Informatique de Gestion Epreuve obligatoire ? Session 2 003
Nouvelle-Calédonie
Page n° 2
2. lim
x???
e4 x = 0 et lim
x???
e2 x = 0,
donc lim
x???
f ? x? = 4.
La droite d'équation y = 4 est asymptote
horizontale à la courbe (C) lorsque x
tend vers - ¥.
3. f (x) = (1 + e2 x)(4 - e2 x).
Pour tout réel x, 1 + e2 x > 0 ; donc f (x)
est du signe de (4 - e2 x).
4 - e2 x > 0 Û 4 > e2 x Û  ln 4 > 2 x
Û x < ln 2
Sur l'intervalle [ 0 ; ln 2], la fonction f
est donc positive.
4. a. Une primitive de la fonction f sur
? est :
F(x) = 4 x?3
2
e2 x ? 1
4
e4 x
b. ?
0
ln2
f ? x? dx = F(ln 2) ? F(0)
= ?4 ln 2 ?3
2 ×4 ? 1
4 ×24 ?
- ? 3
2
? 1
4 ?
= 4 ln 2 + 6 ? 4 ? 3
2 + 1
4
= 4 ln 2 + 3
4
Exercice 3
1. Tableau des prédécesseurs :
Sommets Prédécesseurs Niveau
A D 1
B A, F, G 3
C D 1
D 0
E B 4
F C 2
G A, C 2
2. Graphe :
3. Trajets pour aller de D à E :
D ? A ? B ? E : 10 + 8 + 4 (22 minutes)
D ? A ? G ? B ? E : 10 + 3 + 7 + 4 (24 minutes)
D ? C ? F ? B ? E : 9 + 6 + 3 + 4 (22 minutes)
D ? C ? G ? B ? E : 9 + 4 + 7 + 4 (24 minutes)
Il y a donc deux trajets de durée minimale permettant d'aller de D à E :
D ? A ? B ? E et D ? C ? F ? B ? E, durant tous les deux 22 minutes.
- 4 - 3 - 2 - 1 0 1
1
2
3
4
5
6
7
(C)
(C)
Droite asymptote en - ¥
Tangente
horizontale
D
A
C
G
F
B E
10
9
3
7
4 8
6
3
4
\end{document}