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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie}%tapez un titre
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{Session décembre 2002}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\session décembre 2002 - Informatique de gestion}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Dans un ensemble E muni d'une structure d'algèbre de Boole, on considère l'expression

\[\text{A}= 	ab\overline{c} + \overline{a~b}c + \overline{a}b\overline{c} + a\overline{b~c}+\overline{a~b~c}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Représenter A dans un tableau de Karnaugh.\\
	En déduire une simplification de A.
		\item  Retrouver par le calcul le résultat précédent.
 	\end{enumerate}
\item On considère l'opérateur « implication », noté $\longrightarrow$, défini par : $ (x \longrightarrow y) =  \overline{x}+ y$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer : $(x \longrightarrow 0)$.
		\item  Démontrer que :		$x+y= ((x\longrightarrow  0) \longrightarrow y)$,\\
		puis que :	$\overline{x}~ \overline{y} =  (((x \longrightarrow 0) \longrightarrow y) \longrightarrow 0)$.
		\item  Déduire des questions précédentes une écriture de A à l'aide des variables $a,~ b,~ c$ de la constante $0$ et du seul opérateur « implication » [les opérateurs $+,~ .$,  complémentation, sont exclus].
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ de variable réelle $x$ définie sur l'intervalle [3 ~;~ 30] par : 

\[f (x) = (x - 3) \text{e}^{- \frac{x}{4} + 6}\]

On désigne par $(\mathcal{C})$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthogonal (unités graphiques : 0,5~cm sur l'axe des abscisses; 0,05~cm sur l'axe des ordonnées).

\begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout réel $x$, on a $f'(x) = \left(- \dfrac{x}{4} + \dfrac{7}{4}\right)\text{e}^{- \frac{x}{4} + 6}$.

\item   Justifier le signe de la dérivée de $f$ sur l'intervalle [3~ ;~ 30], puis dresser le tableau de variations de $f$ sur cet intervalle.

\item   Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A d'abscisse $24$.

\item   Tracer la droite (T ) et la courbe $(\mathcal{C})$ dans le repère donné.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Avant la commercialisation d'un nouveau système d'alarme, la société SECUPRO réalise une enquête auprès des entreprises de la région Rhône-Alpes afin de déterminer le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel en fonction de son prix de vente.

Les résultats de cette enquête sont donnés dans le tableau suivant
 :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{3cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$ : prix en centaine d'euros		&3	&6	&9	&12	&15	&18\\ \hline
$y_{i}$ : nombre d'acheteurs potentiels	&200&100&50	&20	&10	&5\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

L'allure du nuage de points de la série $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ conduit à poser $z_{i} = \ln y_{i}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Compléter après l'avoir reproduit le tableau suivant, en arrondissant les valeurs de $z_{i}$ au millième le plus proche :\\

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i}$&3&6&	9&	12&	15&	18\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item  Donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près du coefficient de corrélation linéaire de la série.

Un ajustement affine est-il justifié ?
\item  Déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$, sous la forme $z = ax + b,~ a$ sera arrondi au centième le plus proche et $b$ arrondi à l'entier le plus proche.

\item Déduire, du résultat obtenu à la question précédente, une expression de $y$ en fonction de $x$. Utiliser cette expression pour estimer le nombre d'acheteurs potentiels du logiciel si le prix de vente est de \nombre{1000}~euros.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le prix de revient d'un système d'alarme est de 300~euros.\\

On suppose dans cette partie, qu'une estimation du nombre d'acheteurs potentiels est $y =   \text{e}^{- \frac{x}{4} + 6}$, où $x$ est le prix de vente exprimé en centaine d'euros.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que la fonction $f$ étudiée dans la partie A, donne une estimation du bénéfice réalisé par la société SECUPRO en fonction du prix de vente unitaire proposé pour le système d'alarme.
\item  À quel prix la société doit-elle proposer le système d'alarme pour que ce bénéfice soit maximum ? Quel est alors ce bénéfice à 100 euros près ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 7 points}

\medskip

Une usine fabrique en grande série des pièces susceptibles de présenter deux défauts notés $a$ et $b$.

Une étude statistique de la production conduit aux résultats suivants :

\begin{itemize}
\item[] 5\,\% des pièces présentent le défaut $a$,
\item[] 4\,\% des pièces présentent le défaut $b$,
\item[] 1\,\% des pièces présentent les deux défauts.
\end{itemize}
On prélève au hasard une pièce dans la production.

On note A l'évènement « la pièce présente le défaut $a$ »,
B l'évènement : « la pièce présente le défaut $b$ ».

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Les évènements A et B sont-ils indépendants ?
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement A sachant que B est réalisé.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité de l'évènement
C : « La pièce prélevée présente au moins un défaut ».
		\item  Soit D l'évènement : « La pièce prélevée ne présente aucun défaut ».
		
Montrer que la probabilité de l'évènement D est $0,92$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On prélève au hasard un lot de 100~pièces dans la production. On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise. Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque prélèvement de 100~pièces, associe le nombre de pièces du lot ne présentant aucun défaut.
	
\medskip

\emph{Dans cette partie, on donnera les valeurs décimales arrondies à $10^{-3}$ près des probabilités demandées.}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier que la loi de probabilité suivie par la variable $X$ est une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
		\item  Calculer la probabilité d'avoir exactement une pièce présentant au moins un défaut dans un lot.
	\end{enumerate}
\item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par la loi normale de paramètres $m = 92$ et d'écart type $\sigma = 2,71$.\\

On note $Y$ la variable aléatoire suivant la loi normale de paramètres $92$ et $2,71$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier le choix des paramètres $m$ et $\sigma$.
		\item 	Calculer la probabilité pour qu'un lot de 100~pièces contienne au plus 86~pièces sans défaut, c'est-à-dire $P(Y \leqslant  86,5)$.
		\item 	Calculer la probabilité pour qu'un lot de 100~pièces contienne au moins 90\,\% de pièces sans défaut, c'est-à-dire $P (Y > 89,5)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}