%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \usepackage{graphicx} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \usepackage[np]{numprint} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \rhead{\small Nouvelle--Calédonie} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{novembre 2007}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\novembre 2007 - Informatique de gestion\\ Nouvelle--Calédonie}} \vspace{0,25cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points} \medskip \emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.} \medskip \textbf{Partie A} \medskip On note $P$ l'ensemble des professeurs $p$ enseignant dans un lycée et $E$ l'ensemble des élèves $e$ de ce lycée. On note $q(e,~ p)$ le prédicat : « l'élève $e$ connaît le professeur $p$ ». \medskip \begin{enumerate} \item Traduire par une phrase la proposition A suivante: « $\forall e \in E,~\exists p \in P,~ q(e,~p)$ ». \item Écrire symboliquement la proposition B « II existe au moins un élève qui connaît tous les professeurs ». \item Écrire symboliquement puis traduire par une phrase les propositions $\overline{\text{A}}$ et $\overline{\text{B}}$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \medskip Dans ce lycée, un élève selon ses activités, peut avoir des droits d'écriture sur le site Internet. On définit les critères suivants : \begin{itemize} \item [] $t$ : « l'élève est dans une filière d'enseignement tertiaire » ; \item [] $d$ : « l'élève participe au bureau des délégués » ; \item [] $s$ : « l'élève est dans une section de techniciens supérieurs ». \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item M\up{lle} B. est en première dans une filière tertiaire et ne participe pas au bureau des délégués. Donner une expression booléenne traduisant la situation de M\up{lle} B. \item Un élève a des droits d'écriture sur le site du lycée si : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] il est dans une filière tertiaire et participe au bureau des délégués ou \item[$\bullet~$] il n'est pas dans une filière tertiaire et il est en section de technicien supérieur ou \item[$\bullet~$] il ne participe pas au bureau des délégués et il est en section de technicien supérieur dans une filière tertiaire - \end{itemize} \begin{enumerate} \item Déterminer l'expression booléenne $D$ traduisant les conditions qui donnent un droit d'écriture sur le site. \item M\up{lle} B. a-t-elle des droits d'écriture sur le site Internet ? \end{enumerate} \item En utilisant un tableau de Karnaugh (on mettra alors en évidence les regroupements utilisés) ou une table de vérité ou le calcul booléen, montrer que : $D = s + dt$. Traduire cette égalité par une phrase. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip Un immeuble de bureaux est équipé de deux ascenseurs A$_{1}$ et A$_{2}$ destinés aux visiteurs. Ces deux ascenseurs fonctionnent de façon indépendante. \medskip \begin{enumerate} \item On s'intéresse dans cette question au fonctionnement des deux ascenseurs. On appelle F$_{1}$ l'évènement « l'ascenseur A$_{1}$ fonctionne sans panne durant un mois d'utilisation » et F$_{2}$ l'évènement « l'ascenseur A$_{2}$ fonctionne sans panne durant un mois d'utilisation ». On considère que les évènements F$_{1}$ et F$_{2}$ sont indépendants, que la probabilité de F$_{1}$ est égale à $0,95$, et que la probabilité de l'évènement F$_{2}$ est égale à $0,98$. Calculer la probabilité des évènements suivants : \begin{itemize} \item [] $F$ : « les deux ascenseurs fonctionnent sans panne pendant un mois » ; \item [] $G$ : « au moins un des deux ascenseurs fonctionne sans panne pendant un mois ». \end{itemize} \item On s'intéresse dans cette question à l'utilisation des ascenseurs pendant une journée d'ouverture des bureaux. On considère la variable aléatoire $X$ qui compte le nombre de personnes se présentant devant les ascenseurs A$_{1}$ et A$_{2}$ pendant une durée fixée de 3 minutes (temps moyen de déplacement des ascenseurs dans les étages), lors d'une journée d'ouverture des bureaux aux heures d'affluence. On admet que la variable $X$ suit une loi normale de moyenne $22$ et d'écart-type $4$. \begin{enumerate} \item Quelle est la probabilité qu'il y ait entre 12 et 29 personnes qui se présentent pendant un intervalle de temps de 3 minutes ? \item L'ascenseur A$_{1}$ a une capacité maximum de 10~personnes, l'ascenseur A$_{2}$ une capacité maximum de $n$ personnes. Comment doit-on choisir $n$ pour que la probabilité qu'il y ait plus de $10 + n$ personnes devant les ascenseurs pendant une période de 3~minutes soit inférieure à $0,05$ ? \end{enumerate} \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 12 points} \medskip Dans ce problème on s'intéresse à la répartition des salaires dans deux entreprises. \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{Dans cette partie, les valeurs approchées demandées seront données arrondies à $10^{-2}$ près.}\\ Dans une entreprise A, on a relevé la répartition des salariés suivant leur salaire mensuel en euros.\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.8cm}|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Salaire mensuel&\np{1100}&\np{1540}& \np{2290}& \np{2790}&\np{3220}&\np{3520}\\ \hline Nombre de salariés& 15& 25& 25& 15& 15& 5\\ \hline \end{tabularx} \medskip \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Sur le document réponse, compléter le tableau 1. \item On appellera masse salariale mensuelle la somme totale consacrée par l'entreprise aux salaires. Quelle est la masse salariale mensuelle de cette entreprise ? \item Les salariés étant classés en ordre croissant de leurs salaires, on peut déduire du tableau 1 que 40\,\% des salariés perçoivent 25\,\% de la masse salariale; expliquer comment. \end{enumerate} \item La répartition des salaires est modélisée par une fonction $f$ définie de la façon suivante : les salariés étant classés par ordre croissant de leurs salaires, pour tout $x$ de l'intervalle [0 ; 1] (où $x$ représente le pourcentage de salariés), $f(x)$ est le pourcentage de la masse salariale perçue par ces salariés. On note$f_{1}$ la fonction qui caractérise la répartition des salaires de l'entreprise A. Dans cette entreprise, par exemple, d'après la question précédente on a $f_{1}(0,4) = 0,25$. \medskip \begin{enumerate} \item Sur le document réponse compléter le tableau 2. \item Dans un repère orthonormal \Oij{} (d'unité graphique 10~cm), placer les points de coordonnées $\left(x~;~f_{1}(x)\right)$ pour les sept valeurs de $x$ figurant dans ce tableau, on ne demande pas de relier ces points. \end{enumerate} \item On approche la fonction $f_{1}$ par une fonction polynôme du second degré notée $f_{2}$. On pose : $f_{2}(x) = 0,625x^2 + 0,375x$. \begin{enumerate} \item Étudier le sens de variation de la fonction $f_{2}$ sur l'intervalle [0 ; 1]. \item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1] étudier le signe de $x - f_{2}(x)$. \item En déduire la position de la courbe représentative de la fonction $f_{2}$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation : $y = x$. \item Tracer sur le même graphique qu'au \textbf{3. b.} la droite $\Delta$ puis la courbe représentative de la fonction $f_{2}$ sur l'intervalle [0 ; 1]. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Pour une autre entreprise que l'on appellera l'entreprise B, la répartition des salaires est caractérisée par la fonction $f_{3}$ définie sur l'intervalle [0~;~1] par : \[ f_{3}(x) = x\text{e}^{2(x - 1)}.\] \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Montrer que pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1], on a : $f'(x) = (2x+ 1)\text{e}^{2(x - 1)}$. \item En déduire le sens de variation de la fonction $f_{3}$ sur l'intervalle [0 ; 1]. \end{enumerate} \item Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0 ; 1] on admet que : $x - f_{3}(x) \geqslant 0$. En déduire la position de la courbe représentative de la fonction $f_{3}$ par rapport à la droite $\Delta$ d'équation : $y = x$. \item Sur le graphique commencé à la partie A, tracer la représentation graphique de la fonction $f_{3}$. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie C} \medskip On dit que la répartition de la masse salariale est égalitaire lorsque tous les salaires sont égaux. Dans ce cas, t\:\% des salariés perçoivent t\:\% de la masse salariale. Une telle répartition est donc caractérisée par la fonction $f_{4}$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : $f_{4}(x)= x$. Pour une fonction $f$ décrivant la répartition des salaires d'une entreprise, on s'intéresse au coefficient $\gamma = \displaystyle\int_{0}^1 [x - f(x)]\:\text{d}x$. Ce coefficient est un indicateur d'inégalité de la répartition des salaires dans l'entreprise. \medskip \begin{enumerate} \item Calculer le coefficient $\gamma_{2} = \displaystyle\int_{0}^1 \left[x- f_{2}(x)\right]\:\text{d}x$, où la fonction $f_{2}$ est celle définie à la partie A. (On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie à la troisième décimale.)\\ Sur le graphique commencé à la partie A, hachurer la partie du plan dont l'aire en unités d'aires est égale à $\gamma_{2}.$ \item Soit la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0 ; 1] par : \[F(x) = \left(\dfrac{1}{2}x - \dfrac{1}{4}\right)\text{e}^{2(x - 1)}.\] \begin{enumerate} \item Vérifier que $F$ est une primitive de la fonction $f_{3}$ sur l'intervalle [0 ; 1]. En déduire une primitive sur l'intervalle [0 ; 1] de la fonction $h$ définie par : $h(x) = x - f_{3}(x)$. \item En déduire la valeur de $\gamma_{3} = \displaystyle\int_{0}^1 \left[x- f_{3}(x)\right]\:\text{d}x$.\\ (On donnera la valeur exacte puis une valeur approchée arrondie \`a la troisième décimale. \item Donner une interprétation graphique du nombre $\gamma_{3}$. \end{enumerate} \item Quelle est la plus inégalitaire des distributions salariales des deux entreprises A et B correspondant respectivement à $f_{2}$ et à $f_{3}$ ? \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{\large Document réponse}\end{center} \medskip Tableau 1 à compléter. Partie A 1. a.\\ \medskip \renewcommand{\arraystretch}{1.7} \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline Salaire mensuel& Nombre de salariés& Salaires cumulés& Nombre cumulé de salariés\\ \hline \np{1100}& 15& \np{16500} &15\\ \hline \np{1540}& 25& \np{55000} &40\\ \hline \np{2290}& 25& \np{112250} & \\ \hline \np{2790}& 15& &80\\ \hline \np{3220}& 15& \np{202400} &95\\ \hline \np{3520}& 5 & \np{220000} &100\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \bigskip Tableau 2 à compléter. Partie A 2. a.\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline $x$ & 0 &0,15 &0,4 &0,65 &0,8 &095 & 1\\ \hline $f(x)$ & 0& &0,25 &0,51 &0,7 &0,92 & 1\\ \hline \end{tabularx} \end{document}