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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion épreuve facultative}}
\rfoot{\small{Session   2002}}
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\pagestyle{fancy}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session  2002 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve facultative}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction de la variable réelle $x$ définie sur $\R$ par :

\[f(x) = x\left(\text{e}^x + \text{e}^{-x}\right).\]
 
\begin{enumerate}
\item  Montrer qu'on peut écrire $f(x) = 2 x + x^3 + x^3 \epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon (x) = 0$.
\item Calculer à l'aide d'une intégration par parties la valeur exacte de l'intégrale

\[I = \int_{0}^1  f(x)\:\text{d}x.\]

\item  Calculer la valeur exacte de l'intégrale  $J = \displaystyle\int_{0}^1  \left(2x + x^3\right)\:\text{d}x$.
\item  Vérifier que : $| I - J| < 0,02$.
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}
 
\medskip

\emph{Les probabilités seront données sous la forme décimale arrondie à $10^{-3}$ près.}

\medskip

La fonction de fiabilité d'un composant C est définie par : 

\[R(t) = \text{e}^{- \nombre{0,0125} t},\quad  (t~ \text{en jours}).\]

On note X la durée de vie aléatoire (en jours) du composant C.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Quel est le temps moyen de bon fonctionnement du composant C ?
\item  Quelle est la probabilité que le composant C fonctionne encore au bout de 60 jours ?
\item  Au bout de combien de jours la fiabilité deviendra t-elle inférieure à 0,1 ?
\item  Un dispositif utilise 4 composants C identiques, fonctionnant simultanément et de manière indépendante. Le dispositif est \textbf{opérationnel} si \textbf{au moins 3} de ces composants fonctionnent.

On note F le nombre aléatoire de composants qui fonctionneront encore dans
60 jours, et on admet que F suit la loi binomiale $\mathcal{B}(4~;~0,47)$.

Quelle est la probabilité que le dispositif soit opérationnel dans 60 jours ?
\end{enumerate}
\end{document}