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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Nouvelle--Calédonie\\ session novembre 2011 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B de cet exercice peuvent être traitées indépendamment l'une de l'autre.}

\bigskip
 
\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}
 
On considère le graphe orienté \textbf{G} de sommets $A, B, C, D, E, F$ pris dans cet ordre, dont la matrice d'adjacence est : 

\[M = \begin{pmatrix}
0& 1 &0 &1 &1 &0\\ 
0 &0 &0 &0 &0 &1\\ 
0 &0 &0 &0 &0 &1\\
0 &1 &0 &0 &0 &1 \\
0 &1 &1 &0 &0 &0 \\
0 &0 &0 &0 &0 &0\\
\end{pmatrix}\] 

\begin{enumerate}
\item Calculer les matrices $M^2$ et $M ^3$. 

On admettra que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à 4, $M^n$ est la matrice nulle. 
\item Déduire de ce qui précède qu'il existe exactement 5 chemins reliant le sommet $A$ au sommet $F$. 
\item Écrire le tableau des prédécesseurs pour les sommets du graphe G et déterminer le niveau de chacun de ces sommets. 

Dessiner le graphe \textbf{G} en ordonnant les sommets par niveaux. 
\item Les sommets du graphe \textbf{G} correspondent à des villes. Le tableau ci-dessous donne les temps, en minutes, nécessaires pour aller d'une ville à l'autre en suivant une arête du graphe \textbf{G}. Par exemple, il faut 75 minutes pour aller de la ville $A$ à la ville $B$. 

\medskip
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
	&$B$&$C$&$D$ &$E$ &$F$\\ \hline% 
$A$	&75	&	& 45&30	&\\ \hline%  
$B$	&	&	&	&	& 20\\ \hline%  
$C$	&	&	&	&	& 25\\ \hline%  
$D$	&20	&	&	&	& 50\\ \hline%  
$E$	&40	&35	&	&	&\\ \hline% 
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip 
 
Déterminer le trajet de durée minimale, utilisant des routes autorisées par le graphe \textbf{G}, et permettant d'aller de la ville $A$ à la ville $F$. On précisera la durée totale de ce trajet. 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

Un commercial effectue régulièrement un trajet allant de la ville $A$ à la ville $F$. Pour rompre la monotonie, il utilise aléatoirement des parcours différents. On admet qu'il utilise le trajet passant par la ville $C$ dans 8\,\% des cas et le trajet de plus courte durée dans 40\,\% des cas. En 2011, ce commercial devra effectuer 50 fois le trajet.

\begin{center} 
\emph{Dans cette partie les valeurs des probabilités seront arrondies au centième.}
\end{center}
 
\begin{enumerate}
\item On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, où en 2011, ce commercial utilisera le trajet passant par la ville $C$. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres. 
		\item Calculer $p(X = 5)$.
	\end{enumerate} 
\item On admet que la loi de la variable aléatoire $X$ peut être approchée par celle d'une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi de Poisson. 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est le paramètre de cette loi de Poisson ? 
		\item Calculer $p(Y \leqslant 4)$.
	\end{enumerate} 
\item On note $Z$ la variable aléatoire qui compte le nombre de fois, où en 2011, ce commercial utilisera le trajet de plus coute durée. On décide d'approcher la loi de $Z$ par celle d'une variable $Z$, qui suit une loi normale. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les paramètres de cette loi normale sont $m = 20$ et $\sigma = 2\sqrt{3}$. 
		\item Calculer $p(16,5 \leqslant Z \leqslant 23,5)$. En tenant compte de la correction de continuité, interpréter ce résultat relativement au nombre de trajets du commercial.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie A} \end{center}

Le tableau ci-dessous donne l'évolution, tous les deux ans, du nombre de tués en France suite à un accident de la route, de 1994 à 2006.

\medskip
 
$n$ désigne l'indice de l'année à partir de 1994.
 
$u_{n}$ désigne le nombre de tués en France suite à un accident de la route pour l'année $(1994 + n)$.

\medskip
\begin{enumerate}
\item 
\end{enumerate}

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année &1994 &1996 &1998 &2000 &2002 &2004 &2006\\ \hline% 
$x = n$ &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12\\ \hline%  
$y =u_{n}$ &\np{10709} &\np{8638} &\np{8253} &\np{7742} &\np{6126} &\np{5593} &\np{4709}\\ \hline% 
\multicolumn{8}{r}{\emph{D'après sources du ministère de l'intérieur, $2008$.}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
 
\begin{enumerate}
\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur arrondie au millième du coefficient de corrélation linéaire $r_{1}$, entre $x$ et $Y$. 

\item Étude d'un premier modèle 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $y$ par rapport à $x$, sous la forme $y = mx + p$. On donnera un arrondi au millième de $m$ et $p$. 
		\item Déduire de la question précédente une estimation, par ce modèle, du nombre de tués en 2011. 
	\end{enumerate}
\item Étude d'un second modèle 

On pose $Y = \ln y$.
 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant en arrondissant les données au millième. 

\medskip
		
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
année &1994 &1996 &1998 &2000 &2002 &2004 &2006\\ \hline% 
$x = n$ &0 &2 &4 &6 &8 &10 &12\\ \hline%  
$Y = \ln y$& 9,279&\ldots &\ldots&\ldots&\ldots&\ldots&8,457\\ \hline%
\end{tabularx}

\medskip 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une valeur arrondie au millième du coefficient de corrélation $r_{2}$, entre $x$ et $Y$. 
		\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite de régression de $Y$ par rapport à $x$. 
		\item En déduire, en utilisant cet ajustement, une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = a \text{e}^{bx}$. On arrondira $a$ à l'unité et $b$ au millième.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B} \end{center}

On décide de modéliser l'évolution du nombre de tués sur les routes en France, par la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \np{10551} \times \text{e}^{-0,065x}.\]
 
\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ et calculer $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x)$. 
\item Que peut-on en déduire quant au nombre de tués sur les routes ? 
\item Calculer $f(22)$ et interpréter ce résultat. 
\item En quelle année peut-on espérer arriver à moins de \np{1000}~tués par an sur les routes? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 3, points}

\medskip

Un formateur d'un centre agréé par la Préfecture de Police doit organiser un stage de sensibilisation à la sécurité routière s'adressant à des personnes désireuses de récupérer 4~points sur leur permis de conduire. Pour définir un contenu, il doit tenir compte du profil des stagiaires. Il envisage les critères suivants :

\medskip
\setlength\parindent{7mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Les conducteurs expérimentés ayant été verbalisés pour des dépassements de vitesse inférieurs ou égaux à 20 km/h. 

ou
 
\item[$\bullet~~$] Les conducteurs expérimentés ayant été verbalisés pour des dépassements de vitesse supérieurs strictement à 20 km/h avec un taux d'alcoolémie inférieur ou égal à 0,5~g/L.
 
ou
 
\item[$\bullet~~$] Les jeunes conducteurs ayant été verbalisés pour des dépassements de vitesse inférieurs ou égaux à 20 km/h avec un taux d'alcoolémie supérieur strictement à 0,5~g/L.
 
ou
 
\item[$\bullet~~$] Les jeunes conducteurs ayant été verbalisés pour des dépassements de vitesse inférieurs ou égaux à 20 km/h avec un taux d'alcoolémie inférieur ou égal à 0,5~g/L.
 
ou
 
\item[$\bullet~~$] Les conducteurs expérimentés ayant été verbalisés pour des dépassements de vitesse supérieurs strictement à 20 km/h quel que soit leur taux d'alcoolémie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On modélise cette situation par une fonction booléenne $f$ de trois variables $a , b$ et $c$.
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] La variable $a$ désigne les jeunes conducteurs et $\overline{a}$ les conducteurs expérimentés ; 
\item[$\bullet~~$] la variable $b$ désigne les dépassements de vitesse inférieurs ou égaux à 20~km/h et $\overline{b}$ les dépassements de vitesse supérieurs strictement à 20~km/h ; 
\item[$\bullet~~$] la variable $c$ désigne un taux d'alcoolémie inférieur ou égal à 0,5~g/L et $\overline{c}$ un taux d'alcoolémie supérieur strictement à 0,5~g/L.
\end{itemize}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la fonction $f$ s'exprime par : 
 
\[f(a,\:b,\:c) = \overline{a}b + abc + \overline{\mathstrut{a}}\overline{b}c + ab\overline{c} + \overline{\mathstrut{a}}\overline{b}. \]

Expliquer ce que représente le terme $\overline{\mathstrut{a}}\overline{b}c$ dans cette expression. 
\item Construire le tableau de Karnaugh de la fonction $f$, puis à l'aide du tableau simplifier $f$ en justifiant la démarche. 
\item Traduire l'expression simplifiée de $f$ par une phrase simple. 
\end{enumerate}
\end{document}