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\begin{document}
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\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Nouvelle--Calédonie}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\novembre 2008 - Informatique de gestion\\
Nouvelle--Calédonie}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 6 points}

\medskip

On considère les matrices : 

\[I = \begin{pmatrix}
1& 0&0\\ 
0&1&0\\ 
0&0&1\\
\end{pmatrix},~A =  \begin{pmatrix}
0& 1&0\\ 
0&0&1\\ 
0&0&0\\
\end{pmatrix}~\text{et}~O = \begin{pmatrix}
0& 0&0\\ 
0&0&0\\ 
0&0&0\\
\end{pmatrix}\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $A^2$ et $A^3$ ; en déduire pour tout entier $n > 3$, la valeur de $A^n$.

 (On rappelle que pour tout entier naturel $ k \geqslant 1,~ A^k =  A^{k - 1} \times  A$. 
 \item  À tout nombre réel $x$, on associe la matrice notée $M(x)$ où

$M(x) = 1 +xA + \dfrac{x^2}{2}A^2 \quad (R1).$
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $M(0)$ et $B = M(4)$. 
		\item  $x$ et $y$ étant deux nombres réels quelconques, calculer en utilisant la relation $(R1)$, le produit 
$M(x) \times M(y)$. 
		\item Montrer l'égalité : $M(x) \times M(y) = M(x+ y). \quad (R2)$. 
	\end{enumerate}
\item  Vérifier que $M(x) = \begin{pmatrix}
1&x&\frac{x^2}{2}\\
 0 &1&x\\
0& 0&1\\
\end{pmatrix}$. 

\item En utilisant les résultats de la question 2.,  déterminer le nombre réel $x'$ tel que $M(x) \times M\left(x'\right) = 1$. 

En déduire une matrice $B'$ telle que $B \times B' = I$. 
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\medskip

Un commerçant dispose d'un stock de plantes. Chacune des plantes produit une fleur par an, la fleur est rose ou blanche.
 
Pour chaque plante, la première année, la probabilité de donner une fleur rose est $\dfrac{3}{4}$ et la probabilité de   donner une fleur blanche est $\dfrac{1}{4}$.
  
Au cours des années ultérieures, la floraison obéit aux règles suivantes définies pour tout entier naturel $n$ non nul :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] si l'année $n$ la plante a donné une fleur rose, alors l'année $n + 1$ elle donnera une fleur rose ; 
\item[$\bullet~$] si l'année $n$ la plante a donné une fleur blanche alors, elle donnera, l'année $n + 1$, de façon équiprobable, une fleur rose ou une fleur blanche.
\end{itemize}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip 

$n$ désigne un entier naturel non nul.
 
Pour une plante donnée, $R_{n}$ désigne l'évènement : « la plante donne une fleur rose la $n\up{e}$ année ».

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  On note $p_{n}$ la probabilité de l'évènement $R_{n}$ ; on a donc $P\left(R_{1}\right) = p_{1} = \dfrac{3}{4}$. 

À l'aide des données de l'énoncé, déterminer la probabilité $p\left(R_{2}\right)$ d'obtenir une fleur rose la seconde année. (On pourra éventuellement s'aider d'un arbre pondéré). 
\item  On admet que la suite $\left(p_{n}\right)_{n\geqslant 1}$ vérifie la relation de récurrence 

$p_{n+1} = \dfrac{1}{2} p_{n} + \dfrac{1}{2}$. 

Soit $\left(q_{n}\right)_{n\geqslant 1}$ la suite définie pour tout entier naturel non nul $n$, par : 

$q_{n} = p_{n} - 1$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(q_{n}\right)_{n\geqslant 1}$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{2}$ ; calculer $q_{1}$. 
		\item Déterminer $q_{n}$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire $p_{n}$ en fonction de $n$ ; donner la valeur de $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} p_{n}$. 
	\end{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la plante ne donne que des fleurs roses pendant les $n$ premières années ? 
\end{enumerate}

\medskip

Partie B

\medskip
 
Les plantes sont vendues par lots de \nombre{10000}.
 
Pour un lot donné de \nombre{10000} plantes, on désigne par $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de plantes qui donneront la première année une fleur rose. On suppose que les plantes fleurissent indépendamment les unes des autres. 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ ainsi que les valeurs exactes de son espérance mathématique $E(X)$ et de son écart type $\sigma(X)$. 
\item On décide d'approcher la loi de $X$ par la loi normale $\mathcal{N}(m,~\sigma)$ avec $m = \nombre{7500}$ et $\sigma = 25\sqrt{3}$.
 
Sans tenir compte de la correction de continuité, utiliser cette approximation pour donner, arrondie au centième, la probabilité de l'évènement : « $\nombre{7450} \leqslant  X \leqslant  \nombre{7550}$ ». 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip
 
Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel positif $x$ par :
 
\[f(x) =  x^3 +4x^2 + 6x - 1. \]

\begin{enumerate}
\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~ + \infty[$. 
\item Déterminer $f(0),~f\left(\dfrac{1}{2}\right),~ f(1)$ ainsi que la limite de la fonction $f$ lorsque $x$ tend vers en $+ \infty$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Démontrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une solution unique $\alpha$ dans l'intervalle $[0~;~ + \infty[$ et que $0 \leqslant \alpha \leqslant  \dfrac{1}{2}$. 
		\item  Démontrer que $0,15 \leqslant \alpha \leqslant  0,151.$ 
	\end{enumerate}
\item Déterminer le signe de $f(x)$ pour $x$ appartenant \`a l'intervalle $[0~;~ + \infty[$.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Développer, réduire et ordonner $\left(1  + X\right)^4$. 
\item Dans toute la suite, $r$ désigne un taux d'intérêt annuel. Ainsi, $r = 0,05$ correspond au taux de 5\,\%.
 
Pour un placement à intérêt composé, on sait alors que la valeur acquise $S_{4}$ d'un capital $S$ au bout de quatre années est donnée par : $S_{4}  = S(1 + r)^4$.
 
On étudie un deuxième type de placement de la somme $S$ sur une durée de 4 années, dans les conditions suivantes : la somme $S$ est rémunérée au taux $\dfrac{r}{2}$ pendant la 1\up{re} année, au taux $r$ pendant la 2\up{e}  année, au taux $\dfrac{3r}{2}$ pendant la 3\up{e} année, au taux $2r$ pendant la 4\up{e} année, mais les intérêts ne sont pas composés, de sorte qu'on totalise à l'issue des quatre années de placement :
 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] la somme initiale $S$ ; 
\item[$\bullet~$]les intérêts de la 1\up{e} année, dont le montant est $\dfrac{r}{2}S$ ;
\item[$\bullet~$] les intérêts de la 2\up{e} année, dont le montant est $rS$ ;
 \item[$\bullet~$]  les intérêts de la 3\up{e} année, dont le montant est $\dfrac{3r}{2}S$ ; 
 \item[$\bullet~$] les intérêts de la 4\up{e} année, dont le montant est $2rS$ . 
\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle somme $T_{4}$ obtient-on ainsi \`a la fin des quatre années de placement  ? 
		\item Montrer que la différence $S_{4} -T_{4}$, s'exprime par : $S_{4} - T_{4}  =  Sr \times  f(r)$, où $f$ est la fonction du A. 
		\item Déterminer, en utilisant la partie A, les valeurs de $r$ pour lesquelles le deuxième placement est préférable, sur quatre ans, au placement à intérêt composé au taux d'intérêt $r$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}