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\begin{document}
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\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Nouvelle--Calédonie}}
\rfoot{\small{novembre 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Informatique de gestion épreuve facultative~\decofourright\\Nouvelle--Calédonie novembre 2008}}

\vspace{0,25cm}

Durée : 1 heure \hfill 		coefficient : 1

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE FACULTATIVE

\end{center}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip
 
On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par : $f(x) = 2x\text{e}^{-x^2}$. 

On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de $f$ dans un repère orthonormal, d'origine O. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calcul d'un développement limité de $f(x)$ au voisinage de $0$. 
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $u$ définie sur $\R$ par : $u(x) = \text{e}^{-x^2}$. 
		\item  En déduire que le développement limité à l'ordre 3, au voisinage de 0, de $f(x)$ est de la forme : $f(x) = 2x - 2x^3 + x^3\epsilon(x)$ avec $\displaystyle\lim_{x \to 0} \epsilon(x) = 0$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $(T)$ la tangente à $\mathcal{C}$ au point O. Donner une équation de $(T)$ puis déterminer, à l'aide de la question 1. b., la position de la courbe $\mathcal{C}$ par rapport à la tangente ($T$) au voisinage du point O. 
\item Déterminer une primitive de $f$ sur $\R$. 
\item Soit $a$ un réel strictement positif 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer l'intégrale : $I_{a} = \displaystyle\int_{0}^a  f(x)\:\text{d}x$,  dont la valeur dépend du réel $a$. 
		\item Étudier $\displaystyle\lim_{a \to + \infty} I_{a}$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

Une compagnie de transport en commun a estimé qu'en 2007 le pourcentage de voyageurs qui fraudent a été de 10\,\%. 

Au mois de janvier 2008 cette compagnie décide de contrôler au moins 400~voyageurs par jour. 

Les statisticiens de la compagnie décident de construire un test qui, à la suite des contrôles sur un échantillon de 400~voyageurs, prélevé au hasard, permette de décider si, au seuil de signification de 5\,\%, le pourcentage de voyageurs qui fraudent est $p = 0,10$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Construction du test bilatéral. 

On note $F$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 400~voyageurs que l'on peut supposer prélevés avec remise, associe le pourcentage de voyageurs qui fraudent. 

On suppose que $F$ suit la loi normale $\mathcal{N}\left( p ~;~\sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{400}}\right)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Énoncer une hypothèse nulle $H_{0}$ et une hypothèse alternative $H_{1}$. 
		\item Déterminer, sous l'hypothèse $H_{0}$, le réel positif $h$ tel que : 
		
		$P(p - h \leqslant  F \leqslant  p + h) = 0,95$. On donnera le résultat avec la précision permise par les tables. 
		\item Énoncer la règle de décision du test. 
	\end{enumerate}
Au cours d'une journée de janvier 2008, les contrôleurs de la compagnie ont constaté 32~infractions à l'issue du contrôle de 400~voyageurs. 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la proportion de voyageurs ayant fraudé. 
		\item En utilisant le test précédent, la compagnie peut-elle décider, au seuil de signification de 5\,\%, que le pourcentage global de fraudeurs a été sensiblement modifié ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}