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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Informatique de  gestion}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ Informatique de  gestion session 2007}\\

\vspace{0,25cm}

\textbf{Épreuve obligatoire}}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Cet exercice est un Q. C. M.  (questionnaire à choix multiples). Aucune justification n'est demandée. Pour chaque question, il n'existe qu'une seule affirmation correcte.

Le candidat présentera les résultats en reproduisant et en complétant sur sa copie un tableau ayant l'aspect suivant :

 
\medskip
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Question				&1	&2	&3	&4	&5\\ \hline
Affirmation  correcte	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}
 
\medskip
 
\textbf{Barème envisagé :} + 1 point par réponse exacte, $-0,5$~point par réponse fausse, $0$ point pour absence de
réponse. (Un éventuel résultat négatif serait ramené à zéro)\\
 
\medskip

\textbf{Question I} - Logique

\medskip

Soit $f$ une fonction de la variable $x$, définie sur $\R$.

On considère l'énoncé suivant : \og Il existe au moins un réel $x$ tel que $f(x) > 0$.

\medskip

La négation de cette proposition est :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] A :	\og Il existe au moins un réel $x$ tel que $f(x) < 0$ \fg{} ;
\item[] B :	\og Il existe au moins un réel $x$ tel que $f(x) \leqslant 0$ \fg{} ;
\item[] C :	\og Pour tout réel $x,~ f(x) < 0$ \fg{} ;
\item[] D : \og Pour tout réel $x,~ f(x) \leqslant  0$ \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Question 2} - Matrices

\medskip
				
Soit $a$ un nombre réel non nul.
					
On considère la matrice $M = \begin{pmatrix}
 1& 0&a\\
0&1&0\\
0&1&0\\
\end{pmatrix}$\\ 
La matrice $M^2$ est égaie à :\\
\[A= \begin{pmatrix}
 1& 0&a^2\\
0&1&0\\
0&1&0\\
\end{pmatrix} \quad  B = \begin{pmatrix}
 1& a&a\\
0&1&0\\
0&1&0\\
\end{pmatrix} \quad 	C = \begin{pmatrix}
 2& 0&2a\\
0&2&0\\
0&2&0\\
\end{pmatrix}\quad D= \begin{pmatrix}
 1& 0&0\\
0&1&0\\
0&0&1\\
\end{pmatrix}.\]

\medskip

\textbf{Question 3} - Calcul booléen

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(4.5,3)
\multido{\n=0.5+1.0}{5}{\psline(\n,0.5)(\n,2.5)}
\multido{\n=0.5+1.0}{3}{\psline(0.5,\n)(4.5,\n)}
\psframe[fillstyle=hlines](0.5,1.5)(1.5,2.5)
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,1.5)(2.5,2.5)
\psframe[fillstyle=hlines](1.5,0.5)(2.5,1.5)
\uput[u](1,2.5){$b$}\uput[u](2,2.5){$\overline{b}$} \uput[u](3,2.5){$\overline{b}$} \uput[u](4,2.5){$b$} 
\uput[d](1,0.5){$c$} \uput[d](2,0.5){$c$} \uput[d](3,0.5){$\overline{c}$} \uput[d](4,0.5){$\overline{c}$} 
\uput[l](0.5,2){$a$}  \uput[l](0.5,1){$\overline{a}$}  
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{On considère E, fonction des variables booléennes $a,~ b$ et $c$ dont une expression est :
\[E = abc +a\overline{b}c + \overline{ab}c.\]
$E$ est représentée dans le tableau de Karnaugh ci contre (partie
hachurée).}

Une autre expression de $E$ est :

\[A = a + b\overline{c}\quad  ;\quad	B = ac+\overline{b}c \quad;\quad	C = \overline{\overline{a}c} + c \quad; \quad	D = \left(1+\overline{c}\right)(1 + a).\]

\medskip

\textbf{Question 4} -  Graphes

\medskip

Le graphe G comporte quatre sommets $x,~y,~z$ et $t$.

On donne sa matrice d'adjacence : $M =\begin{pmatrix}
1&0&1&1\\
0&0&1&0\\
0&0&1&0\\
1&0&1&1\\
\end{pmatrix}$.\\
Choisir la proposition exacte parmi les quatre suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[]  A : Le sommet $x$ possède exactement deux successeurs  ; 
\item[]  B : Le chemin $y - 2 - x$ est possible ; 
\item[]  C : Le chemin $t - x - z$ est possible ; 
\item[]  D : Le sommet $z$ est un prédécesseur du sommet $t$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Question 5} - Graphes

\medskip

On utilise le même graphe que dans la question 4. Choisir la proposition exacte parmi les quatre suivantes :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] A : Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 5 ;
\item[] B : Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 6 ;
\item[]  C Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 7;
\item[]  D : Le nombre de chemins de longueur 3 d'origine le sommet $x$ et d'extrémité le sommet $z$ est égal à 8.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip

\emph{L'exercice porte sur la fréquentation d'une pharmacie implantée dans un petit centre commercial.\\
Les trois parties sont indépendantes.}\\

\medskip

\textbf{Partie A} Loi 	binomiale

\medskip

Après avoir effectué une étude statistique, on admet qu'un passant pris au hasard dans la galerie marchande entre dans la pharmacie avec une probabilité de $0,15$. On prélève, de façon aléatoire, un échantillon de $40$~usagers de la galerie marchande. (On assimile ce prélèvement à un tirage avec remise.) On désigne par $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de personnes qui entrent dans la pharmacie, parmi les $40$~usagers de l'échantillon.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Justifier le fait que la variable $X$ suit une loi binomiale $(n ~;~ p)$. Préciser ses paramètres.
		\item  Calculer l'espérance mathématique de la variable aléatoire $X$. Par une phrase simple, en donner une interprétation 
	\end{enumerate} 
\item Calculer les probabilités $P(X = 0)$ et $P(X \geqslant 1)$. (On donnera les valeurs arrondies à la quatrième décimale.)
\end{enumerate}

\medskip
 
\emph{Dans la rédaction, les candidats pourrons utiliser à leur choix l'une des deux notations : $\binom{n}{p}$	ou $\text{C}_{n}^p$.}
 
\bigskip

\textbf{Partie B} Loi normale

\medskip

Soit $Y$ la variable aléatoire, qui, un jour donné, décompte le nombre de clients entrés dans la pharmacie entre 18~heures et 19~heures. On admet que la variable $Y$ suit la loi normale $\mathcal{N}(30~;~4)$.
\begin{enumerate}
\item  Calculer avec la précision de la table, les probabilités $P(Y \geqslant  34)$ et \\$P(26 \leqslant  Y \leqslant  34)$.
\item Déterminer, en utilisant la valeur au plus près dans la table, le nombre réel $a$ tel que : $P(Y \geqslant a) = 0,04$.

 En arrondissant le nombre $a$ à l'entier le plus proche, traduire par une phrase cette dernière égalité.
\end{enumerate}
  
\bigskip

\textbf{Partie C} Somme de deux variables aléatoires

\medskip

Dans le passé, la pharmacie disposait aussi d'un second accès (par le parking). La variable aléatoire $Z_{1}$ prend pour valeurs le nombre de clients qui entraient dans la pharmacie par la galerie (entre 18 et 19~heures), et suit la loi normale $\mathcal{N}(20~ ;~2)$.

La variable aléatoire $Z_{1}$ prend pour valeurs le nombre de clients qui entraient dans la pharmacie (entre 18 et 19~heures) par le parking et suit la loi normale $\mathcal{N}(15~;~3)$.

On suppose de plus que les variables aléatoire $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sont indépendantes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Que mesure la variable aléatoire $Z = Z_{1} + Z_{2}$  ?
\item Sachant que $Z$ suit une loi normale, déterminer ses paramètres (moyenne et écart-type.)
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.}

Une entreprise réalise une étude de marché avant de commercialiser des logiciels à usage professionnels.

\medskip

\textbf{Partie A} Exploitation statistique d'un modèle passé.

\medskip

Des concurrents ont récemment vendu un produit similaire. Le nombre de logiciels vendus chaque mois est donné par le graphique ci-dessous :\\

\medskip

\psset{xunit=0.24cm,yunit=0.025cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(45,450)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=5,Dy=50]{->}(0,0)(45,400)
\rput(22.5,445){Relevé des ventes}
\uput[d](22.5,-20){Rang du mois}
\rput{90}(-5,200){Nombre de logiciels vendus}
\multido{\n=0+5}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,400)}
\multido{\n=0+50}{9}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(45,\n)}
\psdots[dotstyle=square*,dotangle=45](1,60)(2,100)(3,170)(4,200)(5,232)(6,250)(7,280)(8,300)(9,308)(10,310)(11,340)(12,350)(13,372)(14,370)(15,358)(16,360)(17,340)(18,330)(19,323)(20,325)(21,320)(22,308)(23,303)(24,300)(25,272)(26,270)(27,275)(28,256)(29,250)(30,240)(31,220)(32,222)(33,210)(34,202)(35,200)(36,200)(37,178)(38,170)(39,158)(40,155)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

Un extrait est fourni dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.5cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang du mois  : $x_{i}$&1	&6&	11&	16&	21&	26&	31&36\\ \hline
Nombre de logiciels vendus : $z_{i}$&	60&	250& 340&	360&	320&	270	&220&	200\\ \hline
\multicolumn{9}{l}{(Exemple de lecture des données :  le onzième mois, il s'est vendu 340 logiciels)}
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sans calcul, justifier le fait qu'un ajustement linéaire n'est pas approprié.
\item	Reproduire et compléter le tableau suivant : (les valeurs de $y_{i}$ seront arrondies au centième).

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash} X|}}\hline
Rang du mois : $x_{i}$	&	1&	6&	11&	16&	21&	26&	31& 	36\\ \hline
$y_{i} = \ln \left( \dfrac{z_{i}}{x_{i}}\right)$&4,09&&&&&&1,96	&1,71\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item La corrélation linéaire entre les séries $\left(x_{i}\right)$ et $\left(y_{i}\right)$ étant forte (le coefficient de corrélation linéaire $r$
	est environ égal à $-0,999$), on décide de procéder à un ajustement affine par la méthode des moindres carrés.
	
Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ sous la forme 

$y = ax +  b$ où $a$ et $b$ sont deux réels arrondis au millième. (Aucun détail de calcul n'est demandé dans cette question.)

\item En prenant des arrondis plus larges des valeurs de $a$ et de $b$, on obtient \\$\ln \left(\dfrac{z}{x}\right) = - 0,07x+ 4$.

Exprimer  alors $z$ en fonction  de $x$.
	\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B} Perspectives

\medskip

L'équipe commerciale envisage de mener une campagne plus dynamique, pour son nouveau produit plus complet.

Le nombre mensuel des ventes serait modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ; 36] par :
 
\[f(x) = 100x\text{e}^{-0,1x}.\]

\begin{enumerate}
\item Calculer la dérivée de la fonction $u$ définie pour $x \geqslant 0$ par : $u(x) = \text{e}^{-0,1x}$ ; en déduire la dérivée de la fonction $f$.

Justifier le fait que le signe de la dérivée de $f$ est le même que celui de $(10 - x)$.
\item Dresser alors le tableau de variations de la fonction $f$.
\item Tracer la courbe représentative de la fonction $f$ (Le choix d'unités efficaces est laissé à l'initiative du candidat.)
\item L'entreprise arrêtera la commercialisation du produit dès que le nombre de ventes repassera au dessous de $150$~unités par mois. \\Déterminer à l'aide du graphique ou de la calculatrice, à partir de quel mois cessera cette commercialisation.
\end{enumerate}
\end{document}