%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Verg\`es
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\setlength\parindent{0mm}
\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Informatique de gestion session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\textbf{Les parties peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\emph{Toutes les probabilité demandées seront arrondies au millième.}

La coopérative \og Le Val de Seule \fg{} produit et commercialise des légumes. Un service étudie le problème de la mise en bocal de tomates confites: le poids annoncé est de 500~g, et on décide qu'un bocal est \og  mal rempli \fg{} s'il pèse moins de 485~g. On admet que la variable aléatoire $X$ qui, â chaque bocal, associe son poids en grammes, suit une loi normale d'espérance $500$ et d'écart-type $12$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'un bocal soit mal rempli.
\item Calculer la probabilité $P(491 \leqslant  X \leqslant 518)$
\item Déterminer le réel h tel que $P(500 - h \leqslant X \leqslant 500 + h) = 0,95$.

Traduire ce résultat en français courant.
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Grâce à une politique de qualité, on a ramené le pourcentage de bocaux mal remplis à 2\,\%. Un contrôleur teste un lot de 200~bocaux prélevés sur la production (on assimile ce prélèvement à un tirage avec remise).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  On désigne par $Z$ la variable aléatoire désignant le nombre de bocaux mal remplis dans ce lot.
	\begin{enumerate}
		\item  Quelle est la loi suivie par $Z$ ? Justifier votre réponse. 
		\item  Donner l'espérance et l'écart-type de $Z$. 
		\item  Calculer $P(Z = 2)$.
	\end{enumerate}
\item On admet que $Z$ peut être approchée par une variable $Z'$ suivant une loi de Poisson. 
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la valeur du paramètre $X$ de cette loi de Poisson. 
		\item  Déterminer la probabilité $P(Z' \geqslant  3)$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Les bocaux sont remplis sur deux chaînes de travail Alpha et Beta.
La chaîne Alpha fournit 80\,\% des bocaux et la chaîne Beta en fournit 20\,\%.

Parmi les bocaux fournis par la chaîne Alpha, il y en 1\,\% de mal remplis.

La probabilité qu'un bocal fourni par la chaîne Bêta soit mal rempli est égale à un certain réel $\beta$.

Un bocal est choisi au hasard dans la production.

On note :

\begin{itemize}
\item A l'évènement : \og le bocal a été rempli sur la chaîne Alpha \fg,
\item B l'évènement : \og le bocal a été rempli sur la chaîne Bêta \fg,
\item M l'évènement : \og le bocal a été mal rempli \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré ou un tableau à double entrée illustrant la situation.
\item On a choisi un bocal mal rempli. Déterminer la probabilité qu'il ait été rempli sur la chaîne Alpha, sachant que $P(M) = 0,02$.
\item 	
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer en fonction de $\beta$ la probabilité $P(M)$. 
		\item  En déduire la valeur de $\beta$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Étude théorique}

\medskip

On se propose de déterminer les puissances successives de la matrice $M$ définie par $M =\begin{pmatrix}
1&0&1&1\\
1&0&0&1\\
0&1&1&0\\
0&1&0&0\\
\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer $M^2, M^3$ et $M^4$. Établir une relation simple entre $M^4$ et $M^3$.

\item  On admet qu'il existe une suite numérique $\left(a_{n}\right)$ telle que, pour tout $n \geqslant  3,~ M^n =  a_{n}M^3$.\\
Préciser la valeur de $a_{3}$ et $a_{4}$ et en calculant $M^{n+1} = M^n \times M$, montrer que la suite (an) est géométrique, donner sa raison.

\item  En déduire l'expression de $a_{n}$ en fonction de $n$.
\item  En déduire que $M^n  =2^{n-1}\begin{pmatrix}
3&3&3&3\\
2& 2& 2& 2\\
2& 2& 2& 2\\
1&1&1&1\\
\end{pmatrix}$. 
\end{enumerate}
 
\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Application}

\medskip

Monsieur ROBERT, agent commercial de la coopérative \og Le Val de Seille \fg pour le Centre-Est, prospecte les quatre villes Auxerre, Beaune, Châtillon et Dijon, notées A, B, C, D. Ses déplacements sont repérés par la matrice d'adjacence $M$ définie dans la partie A.

\parbox{0.6\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item  Va-t-il directement d'Auxerre à Beaune ?
\item  Recopier et compléter le graphe ci-contre correspondant à $M$.
\item  Quel est le nombre de chemins de longueur 3 allant de A à D. En faire la liste.
\item  À l'aide de la partie A, déterminer le nombre de chemins de longueur $8$ de ce graphe.

Justifier votre réponse.
\end{enumerate}} \hfill
\parbox{0.25\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(3,3)
\pscircle(0,1.5){3mm} \pscircle(3,1.5){3mm}
\pscircle(1.5,0){3mm} \pscircle(1.5,3){3mm}
\rput(0,1.5){C} \rput(3,1.5){D}  \rput(1.5,0){B}  \rput(1.5,3){A}  
\end{pspicture}}	

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 6 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\textbf{Étude d'une fonction}

\medskip

On donne la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0 ;100] par 

\[f(x) = 216x - x^2 - \np{4000}\ln \left( \dfrac{x + 12}{12}\right).\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

(unités graphiques : 1~cm pour 5 en abscisse et 1~cm pour $200$ en ordonnée).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $f'(x)$ et montrer et que, sur l'intervalle [0 ; 100], son signe est celui du polynôme $P$ défini par 

\[P(x) = - 2x^2 + 192x - \np{1408}.\]

\item Étudier le signe de $P(x)$, et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0 ; 100].

(on arrondira les valeurs numériques à l'unité).
\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ pour $ x \in [0~;~100]$.
\item À l'aide du graphique, donner une valeur approchée à l'entier près de la solution non nulle de l'équation $f(x) = 0$, puis à l'aide du tableur de votre calculatrice, préciser cette valeur arrondie au millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\textbf{Application}

\medskip

Pour des raisons d'approvisionnement limité, la coopérative \og Le Val de Seine \fg ne peut produire et commercialiser plus de $100$~tonnes de tomates confites par an.

Le coût total de production (en euros) est donné par la fonction $g$ définie sur l'intervalle [0~;~100] par :

\[g(x) = 10x^2 + \np{40000}\ln \left( \dfrac{x + 12}{12}\right),\]

où $x$ désigne le nombre de tonnes produites.

Elle vend toute cette production à \np{2160}~\euro{} la tonne.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en fonction de $x$, le bénéfice de la société sur le poste \og tomates confites \fg.

Exprimer ce bénéfice en utilisant la fonction $f$ de la partie A.
\item Combien de kilogrammes faut-il produire au minimum pour que ce bénéfice soit positif ?
\item Combien de tonnes faut-il produire pour que ce bénéfice soit maximum ? Que vaut-il alors ?
\end{enumerate}
\end{document}