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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ Informatique de gestion session 2005\\
Option : administrateur de réseaux}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Les parties A, B et C sont indépendantes.

\emph{Toutes les valeurs arrondies seront données à $10^{-3}$ près.}\\

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

En France, le nombre d'abonnements à l'Internet haut débit est donné, en millions, dans le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.1cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Période&\footnotesize 1\up{er} trimestre 2003&\footnotesize 	2\up{e} trimestre 2003&\footnotesize 	3 \up{e} trimestre 2003&\footnotesize 	4\up{e} trimestre 2003&\footnotesize 	1\up{er} trimestre 2004\\ \hline
$x = $ rang de la période&	1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
\footnotesize $y =$ nombre d'abonnements en millions&2,236&	2,450&	2,790&	3,524&	4,406\\ \hline
\multicolumn{6}{r}{(*) source ART Autorité de Régulation des Télécommunications.}\\
\end{tabularx}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau suivant, les résultats seront arrondis au millième.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2cm}|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$ rang de la période&	1&	2&	3&	4&	5\\ \hline
$z = \ln y$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip

\item 	Donner le coefficient de corrélation de $z$ en $x$. Que peut-on en conclure ?
\item 	Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$. Aucun calcul intermédiaire n'est exigé.
\item 	En supposant la même progression de l'Internet haut débit, estimer le nombre d'abonnements en millions au troisième trimestre 2004.
\item 	Exprimer $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = A\text{e}^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont des réels arrondis au millième.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En janvier 2003, une enquête dans une université a montré que 7\:\% des étudiants disposaient personnellement de l'Internet haut débit.\\
On interroge 100~étudiants. On suppose que l'effectif de l'université est suffisamment important pour que les interrogations soient considérées comme indépendantes.

Soit $X$ la variable aléatoire qui mesure le nombre d'étudiants disposant de l'Internet haut débit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi $X$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres .

\item Calculer la probabilité $P(X = 5)$.

\item On admet que $X$ peut être approchée par une variable $X_{1}$ suivant une loi de Poisson.
	\begin{enumerate}
		\item  Quel est le paramètre de cette loi de Poisson ? 
		\item  Déterminer les probabilités $P\left(X_{1} = 5\right)$ et $P\left(X_{1} > 7\right)$. 
 		\item  Déterminer la probabilité qu'il y ait au plus 5~étudiants disposant de l'Internet haut débit.
	 \end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En septembre 2004, une enquête semblable a montré que 50\:\% des étudiants disposaient de I'Internet haut débit.

On interroge 100~étudiants. Soit $Y$ la variable aléatoire qui mesure le nombre d'étudiants disposant de l'Internet haut débit.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Expliquer pourquoi $Y$ suit une loi binomiale et préciser ses paramètres.
\item  On admet que $Y$ peut être approchée par une variable aléatoire $Y_{1}$ suivant une loi normale.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $Y_{1}$ suit la loi normale $\mathcal{N}(50 ~;~ 5)$.
		\item 	Déterminer la probabilité $P(45 \leqslant  Y_{1} \leqslant  55)$.
		\item 	Déterminer la probabilité qu'il y ait au moins 40~étudiants disposant de l'Internet haut débit. On calculera $P\left(Y_{1} \geqslant  39,5\right)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 3 points}

\medskip

Le responsable du parc informatique d'une entreprise envisage l'acquisition de nouveaux ordinateurs. Pour s'équiper ce responsable s'adresse à une entreprise de vente de matériel informatique qui propose des configurations prédéfinies (ordinateur et périphériques).

On définit les critères suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $a$ la configuration comprend un graveur de DVD ;
\item[] $b$ la configuration comprend une imprimante ;
\item[] $c$ la configuration comprend un scanner.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
Les contraintes d'équipement excluent les configurations avec graveur DVD mais sans scanner ainsi que les configurations sans graveur et sans imprimante.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner une expression booléenne $E$ traduisant les conditions d'exclusion d'une configuration.
\item Dresser la table de Karnaugh de $E$.
\item Traduire l'expression booléenne $a\overline{b}c$ sous forme d'une phrase et préciser si la configuration considérée peut être acceptée.
\item À partir de la table de Karnaugh obtenue précédemment, donner l'expression $F$ simplifiée traduisant l'acceptation d'une configuration.
\item La phrase « Les configurations acceptées sont celles qui comportent soit un graveur et un scanner soit pas de graveur et une imprimante » traduit-elle l'expression booléenne $F$ ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

Soient $f$ et $g$ les fonctions définies sur l'intervalle $[0~ ;~ +\infty[$ par : 

\[f(x)=3x\text{e}^{-x}~~ \text{et}~~ g(x) = (3 + x)\text{e}^{-x}.\]

On notera $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ leurs représentations graphiques respectives dans le plan muni d'un repère \Oij{} avec les unités graphiques suivantes : 1~cm sur l'axe des abscisses et 3~cm sur l'axe des ordonnées.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$, puis étudier les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
\item  Déterminer la limite de $g$ en $+ \infty$, puis étudier les variations de $g$ sur l'intervalle $[0~;~ +\infty[$.
\item  Déterminer une équation de la tangente $\Delta$ à  la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = 0$. Tracer $\Delta$.
\item  Tracer les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ dans le repère \Oij.
\item  Soit $h$ la fonction définie sur $[0~;~+\infty[$ par $h(x) = g(x) - f(x)$.
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre $h(x) = 0$.
		\item Étudier le signe de $h(x)$ sur l'intervalle $[0~ ;~+\infty[$.
		\item En déduire les coordonnées exactes du point I d'intersection de $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et les positions relatives de ces deux courbes.
	\end{enumerate}
\item	Vérifier que la fonction $H$ définie sur l'intervalle $[0~ ;~ +\infty[$ par : $H(x) = (2x - 1)\text{e}^{-x}$ est une primitive de $h$ sur cet intervalle.
\item	Calculer en cm$^2$, l'aire $\mathcal{A}$ de la partie du plan comprise ente les courbes $\mathcal{C}$ et $\Gamma$ et les droites
d'équation $x =  0$ et $x = \dfrac{3}{2}$. On donnera la valeur exacte de $\mathcal{A}$ et sa valeur arrondie au centième.
\end{enumerate}
\end{document}