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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{Session 2003}}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2003 - Informatique de gestion}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

On considère l'expression $E$ dépendant des variables booléennes $a$, $b$ et  $c$ :

\[E =\overline{a}.\overline{c} + b.\overline{c} + a.\overline{b}
 +  \overline{a}.\overline{b}.c\]
 
\begin{enumerate}
\item Simplifier l'expression $\overline{E}$  à l'aide de la lecture d'un
 tableau de Karnaugh (ou d'une table de vérité) et en déduire 
 que :

\[E = \overline{b} +\overline{c}\]

\item Dans un organisme qui aide des personnes au chômage à trouver un emploi, on considère pour ces personnes, trois variables booléennes définies ainsi:
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $a = 1$ si la personne est âgée de $45$ ans ou plus (sinon $a=
 0$) ;
\item[] $b = 1$ si la personne est au chômage depuis un an ou plus (sinon $b =
 0$) ;
\item[] $c = 1$ si la personne a déjà suivi une formation l'année précédente (sinon $c = 0$).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Une formation qualifiante sera mise en place pour les personnes 
 vérifiant au moins un des critères suivants :
 
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item   avoir $45$~ans ou plus et être au chômage depuis moins de un an ;
\item   avoir moins de $45$~ans et ne pas avoir suivi de formation l'année   précédente ;
\item   être au chômage depuis un an ou plus et ne pas avoir suivi de   formation l'année précédente ;
\item   avoir moins de $45$~ans, être au chômage depuis moins de un an et  avoir suivi une formation l'année précédente.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Les personnes qui ne répondent à aucun de ces quatre critères, pourront participer à un stage d'insertion en entreprise.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item   Écrire l'expression booléenne $F$ en fonction des variables $a$, $b$  et $c$ qui  traduit le fait que la  personne pourra suivre cette formation qualifiante.
		 \item  En déduire, en utilisant le résultat du 1., les personnes  qui ne pourront pas participer à la   formation qualifiante et qui  participeront donc à un stage d'insertion en entreprise.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 6 points}

\medskip

On considère les matrices $A=\begin{pmatrix}
    1 & 0 & 1 \\
    1 & 1 & 1 \\
    0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}$   et $I=\begin{pmatrix}
    1 & 0 & 0 \\
    0 & 1 & 0 \\
    0 & 0 & 1 \\
  \end{pmatrix}$
  
  \medskip
  
\begin{enumerate}
\item Déterminer la matrice $B = A-I$   puis calculer les matrices
 $B^2$ et $B^3$.
\item En déduire la matrice $B^n$ pour tout entier $n$, $n \geqslant 3$.
\item La formule du binôme, appliquée au développement de $(B + I)^n$ permet d'écrire pour tout entier $n$, $n\geqslant 3$:

\[A^n = (I+B)^n =
        I+ C_n^1.B+ C_n^2.B^2+ C_n^3.B^3+ ...+C_n^k.B^k+
                                        + \cdots +C_n^{n-1}.B_{n-1}+B^n\]
 où  :
 
\[C_n^k=\dfrac{n!}{k!(n - k)!}\]

	\begin{enumerate}
		\item   Vérifier que, pour $n \geqslant 3$ :  $A^n = I+ C_n^1.B +C_n^2.B^2$
		\item  Montrer, à l'aide des résultats du 1. :

\[A^n =\begin{pmatrix}
    1 & 0 & n \\
    n & 1 & \frac{n(n+1)}{2} \\
    0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
  \text{pour tout entier } n,~ n\geqslant 3\]
  
	\end{enumerate}
\item Application : on considère le graphe orienté $G$ de sommets $X$, $Y$ et $Z$, pris dans cet ordre et dont la matrice d'adjacence est la
 matrice $A$.
	\begin{enumerate}
		  \item  Donner une représentation géométrique du graphe $G$.
		  \item  Déterminer, à l'aide des questions précédentes, le nombre de chemins  de longueur $5$ du sommet $Y$ au sommet $Z$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 9 points}

\medskip

Une entreprise a mis au point un circuit électronique formé  essentiellement de deux composants distincts $C_1$ et $C_2$ montés en  parallèle de telle sorte que ce circuit ne peut tomber en panne  que lorsque les deux composants $C_1$ et $C_2$ sont simultanément en  panne.
  
\medskip

{\large {\textbf{Partie A}}}

\medskip

Au bout de \np{6000}~heures d'utilisation du circuit électronique composé des éléments $C_1$ et $C_2$, on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
  \item [] A : \og Le composant $C_1$  n'a pas eu de panne \fg{} ;
  \item [] B : \og Le composant $C_2$ n'a pas eu de panne \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considérera que les pannes des composants $C_1$ et $C_2$
 sont indépendantes et que les probabilités respectives des évènements
 $A$ et $B$ sont : $p(A) = 0, 22$ et $p(B) = 0, 05$.

Pour tous les calculs de probabilités demandés dans cette partie, on
 donnera les résultats sous leur forme approchée décimale arrondie à
 $10^{-2}$ près.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item
On note $\overline{A}$  et $\overline{B}$  les évènements contraires
 des évènements $A$ et  $B$.
 
Calculer la probabilité de chacun des évènements  $\overline{A}$ et
$\overline{B}$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la probabilité que le circuit électronique tombe en panne au bout de \np{6000}~heures.
		\item  En déduire la probabilité que le circuit électronique fonctionne sans panne au bout de \np{6000}~heures.
	\end{enumerate}
\item 
Le composant $C_1$  peut avoir plusieurs pannes dans la période des
premières heures d'utilisation. On admet que le nombre de pannes du
composant $C_1$ dans la période des \np{6000}~premières heures d'utilisation  suit la loi de Poisson de paramètre $1,5$. On note $X$ la variable  aléatoire  associée au nombre de pannes du composant $C_1$ au cours de cette période.
	\begin{enumerate}
		  \item Déterminer la probabilité que le composant $C_1$ ait au plus deux pannes  au bout de \np{6000}~heures.
		  \item Déterminer la probabilité que le composant $C_1$ ait au moins une panne au bout de \np{6000}~heures.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

{\large {\textbf{Partie B}}}

\medskip

Le service qualité de l'entreprise, chargé de tester le temps de
fonctionnement de ce circuit électronique, vérifie d'abord le nombre
d'heures de fonctionnement de chacun des composants $C_1$ et $C_2$.
Les résultats obtenus sont les suivants :

Les fonctions $f_1$ et $f_2$ correspondant respectivement à la probabilité que les composants $C_1$ et $C_2$   fonctionnent sans panne au bout de $t$ milliers d'heures d'utilisation, sont définies sur $[0~;~ +\infty[$ par:

\[f_1(t) = \text{e}^{-0,25 t}~\text{et}~f_2(t)=\text{e}^{- 0,5t}.\]

\begin{enumerate}
\item  Études des fonctions. Tracés des courbes représentatives
	\begin{enumerate}
		 \item  Étudier le sens de variation de chacune des fonctions $f_1$ et $f_2$.
		 \item   Comment peut-on interpréter ces résultats pour les composants $C_1$ et $C_2$ ?
 	 	\item Tracer, sur le même graphique, les courbes représentatives $G_1$ et $G_2$ des fonctions $f_1$ et $f_2$.
	 
On tracera les deux courbes sur l'intervalle $[0~;~6]$ en prenant pour unités :
    
\setlength\parindent{5mm}    
\begin{itemize}
\item [] $1$ cm pour $500$ heures en abscisse ;
\item [] $10$ cm pour la probabilité égale à $1$, en ordonnée.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer graphiquement pour chaque composant, au bout de combien d'heures, on aura une probabilité qu'il fonctionne sans panne, égale à $0,37$.
		  
On indiquera tous les tracés utiles et on arrondira le résultat à une
 centaine d'heures près.
		\item En déduire, par lecture graphique, lequel des deux composants fonctionnera le plus longtemps sans panne.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}