\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}%ATTENTION codage en utf8 !
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{tabularx,multirow}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : Denis Vergès
\usepackage{pst-plot,pst-text}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\makeatletter
\def\pshlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\psvlabel#1{\expandafter\LabelVirgule#1..\@nil}
\def\LabelVirgule#1.#2.#3\@nil{%
\ifx#1\@emptyO\else#1\fi
\ifx#2\@empty\else,#2\fi}
\makeatother

\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\rhead{\small Métropole}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{Session 2002}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2002 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{ÉPREUVE OBLIGATOIRE}
  
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

Une usine fabrique 3 sortes d'articles : a$_{1}$, a$_{2}$, a$_{3}$, à partir de 3 modules m$_{1}$, m$_{2}$, m$_{3}$.

On donne :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}c|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}p{3cm}|}
\multicolumn{3}{c}{articles}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{3}{c}{modules}& \multicolumn{1}{c}{} \\ \cline{1-3} \cline{6-8}
a$_{1}$&a$_{2}$&a$_{3}$&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{1}{c|}{}&m$_{1}$&m$_{2}$&m$_{3}$&\multicolumn{1}{c}{} \\ \cline{1-4} \cline{6-9}
3&9&5&m$_{1}$&\multirow{3}{2ex}{\rotatebox{90}{modules~~}} &5&6&3&Poids unitaires (kg)\\ \cline{1-4} \cline{6-9}
4&0&9&m$_{2}$&&180&250&150&Coûts unitaires (en euros)\\ \cline{1-4} \cline{6-9}
4&8&6&m$_{3}$&\multicolumn{1}{c}{}&\multicolumn{4}{c}{} \\ \cline{1-4}
\end{tabularx}

\medskip

On lit par exemple :
 
Pour fabriquer un article a$_{2}$, il faut 9 modules m$_{1}$ et 8 modules m$_{3}$.

Un module m$_{1}$ pèse 5 kg et coûte 180~euros.

On note :
	
\[A = \begin{bmatrix}3&9&5\\4&0&9\\4& 8& 6\\
  \end{bmatrix}\qquad 	M = \begin{bmatrix}5&6&3\\
180&		250&	150 \end{bmatrix}\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le produit matriciel $M \times A$
		\item  Interpréter les lignes de ce produit.
	\end{enumerate}
\item	Une semaine donnée, l'usine doit fournir 8 articles a$_{1}$, 12 articles a$_{2}$, 13 articles a$_{3}$.

Elle dispose en début de semaine d'un stock de 200 modules de chaque sorte.

On note $F$ la matrice : $F = \begin{pmatrix}8\\12\\13 \end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer le produit matriciel $A \times F$. Que représente-t-il ? 		
		\item  La demande [8 articles a$_{1}$,  12 articles a$_{2}$, 13 articles a$_{3}$] peut-elle être satisfaite ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\emph{Toutes les probabilités demandées dans cette exercice seront données sous leur forme décimale arrondie à $10^{-3}$ près.}

\medskip

\textbf{La partie C peut être traitée indépendamment des deux autres.}

Une entreprise vend 2 types de meubles : M$_{1}$, M$_{2}$ respectivement 419~euros et 509~euros l'unité.

La demande mensuelle en meubles M$_{1}$ est une variable aléatoire X qui suit la loi normale $\mathcal{N}(85 ~;~ 15)$.

La demande mensuelle en meubles M$_{2}$ est une variable aléatoire Y qui suit la loi normale $\mathcal{N}(52~;~ 8)$.

On suppose que X et Y sont indépendantes.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette question, on suppose que le stock est suffisant pour satisfaire la demande. Ainsi, l'entreprise vend mensuellement X meubles M$_{1}$ et Y meubles M$_{2}$.

Calculer les probabilités (un mois donné) d'avoir les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[] $V_{1}$ : on vendra au plus 80 meubles M$_{1}$.
\item[] $V_{2}$ : on vendra au plus 70 meubles M$_{2}$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette question, le stock n'est pas obligatoirement suffisant pour satisfaire la demande. L'entreprise dispose en début de mois d'un stock de 80 meubles M$_{1}$ et 70 meubles M$_{2}$.

 Quelles sont les probabilités des évènements suivants :
 
\setlength\parindent{5mm} 
\begin{itemize}
\item[] S$_{1}$ : il y aura rupture de stock en meubles M$_{1}$.
\item[] S$_{2}$ : il y aura rupture de stock en meubles M$_{2}$.
\item[]  S : il y aura rupture de stock (en meubles M$_{1}$ ou M$_{2}$).
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

(La rupture de stock concerne la fin du mois, et signifie que la demande est supérieure au stock).

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un mois donné est dit rentable si le chiffre d'affaires de ce mois dépasse \np{70000}~euros.

\begin{enumerate}
\item  Exprimer (en euros) le chiffre d'affaires Z du mois en fonction de X et Y.
\item  Calculer l'espérance mathématique de Z.
\item  On admet que Z suit la loi normale $\mathcal{N}(\np{62803}~;~\np{7400})$.

Quelle est la probabilité qu'un mois donné soit rentable ?
\item   On note R le nombre de mois rentables d'un semestre, et on suppose l'indépendance entre les évènements « rentable ou non rentable » des mois successifs.

Justifier le résultat suivant : R suit la loi binomiale $\mathcal{B}(6~ ; ~0,142)$.

\item  Quelle est la probabilité que sur les 6~ mois d'un semestre, on en ait au moins deux rentables ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

Un calcul doit être effectué un grand nombre de fois avec des données différentes. Il peut être réalisé à l'aide d'une configuration comprenant plusieurs processeurs travaillant simultanément, et d'un logiciel adéquat pilotant ces processeurs.

 Matériellement, on peut installer jusqu'à 256~processeurs.
 
Le temps d'exécution $T$ d'un calcul (en secondes) est donné en fonction du nombre entier $p$ de processeurs installés par

\[T(p) =	\dfrac{1}{200 }	+ \dfrac{1 + \ln (p)}{p^2},~~ \ln ~\text{désignant le logarithme népérien.}\]

Le coût (matériel + logiciel) de la configuration est proportionnel au nombre de processeurs installés. On désire choisir $p$ pour que le temps de calcul et le coût soient faibles, et pour cela, on
définit l'indice $I$ égal au produit du nombre de processeurs par le temps de calcul :

\[I(p) =  p \times T(p) = p\left[\dfrac{1}{200 }+ \dfrac{1 + \ln (p)}{p^2}\right].\]

\textbf{On cherchera donc à avoir une configuration pour laquelle $I$ est minimal.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\emph{Étude du temps de calcul}

Soit $t$ la fonction de la variable $x$, définie sur l'intervalle $[1~;~ +\infty[$ par :

\[t(x) = \dfrac{1}{200 }+ \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\]

\begin{enumerate}
\item  Calculer la dérivée $t'(x)$. En déduire le sens de variation de la fonction $t$.
\item  Calculer la limite de $t$ en $+ \infty$. Interpréter ce résultat.
\item  Calculer, à $10^{-6}$ près, $t(72),{} t(73)$.\\
 Combien faut-il installer de processeurs pour que le temps de calcul soit inférieur à 0,006~secondes ?
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\emph{Étude de l'indice}

Soit $f$ la fonction de la variable $x$,  définie sur l'intervalle [1 ~;~ 256] par :

\[f(x)=x\left[\dfrac{1}{200 }+ \dfrac{1 + \ln (x)}{x^2}\right]\]
On définit l'indice moyen de $f$ par $ m = \dfrac{1}{255}\displaystyle\int_{1}^{256} f(x)\:\text{d}x$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Vérifier que la fonction $G$ définie sur l'intervalle [1~ ;~  256] par

\[G(x) = \dfrac{ [1+ \ln (x)]^2}{2}\]
est une primitive de la fonction $g$, définie sur le même intervalle, par :

\[g(x) = \dfrac{1 + \ln (x)}{x}.\]

\item  En déduire une primitive $F$ de $f$ puis l'indice moyen $m$  à $10^{-2}$ près.
\item  En vous aidant du graphique ci-dessous (courbe représentative de $f$), puis d'une calculatrice, et en remarquant que $I(p) = f(p)$, déterminer précisément le nombre $p$ de processeurs à installer pour que l'indice soit minimal.
\end{enumerate}

\medskip

\psset{xunit=0.0475cm,yunit=7cm}
\begin{pspicture}(255,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=50,Dy=0.2]{->}(0,0)(255,1.5)
\psset{linewidth=0.2pt,axesstyle=none,tickstyle=bottom,ticksize=5pt,labels=none}
\psaxes[ticks=x,Dx=10](255,1.5)
\psaxes[ticks=y,Dy=0.05](255,1.5)
\uput[r](0,1.5){Indice} \uput[u](225,0){Nombre de processeurs}
\uput[d](250,-0.0175){250}
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1000,linewidth=1pt]{1}{256}{x 200 div 1 x ln add x div add}
\end{pspicture}
\end{document}