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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small A. P. M. E. P.}
\rhead{\small Brevet de technicien supérieur S}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}

{\Large \textbf{\decofourleft~BTS Informatique de gestion~\decofourright\\
 Polynésie juin 2008}}

\vspace{0,25cm}
Durée : 1 heure \hfill 		coefficient : 1

\vspace{0,5cm}

ÉPREUVE FACULTATIVE

\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 10 points}

\medskip

\emph{Les questions sont indépendantes les unes des autres.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Calculer, à l'aide d'une intégration par parties, la valeur exacte de : 

\[I = \displaystyle\int_{0}^{0,1}(x+1)\text{e}^{-x}\:\text{d}x.\]

\item  Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par $f(x) = (x + 1)\text{e}^{-x}$.

Donner le développement limité à l'ordre 3 de $\text{e}^{-x}$ au voisinage de $0$. En déduire le développement limité à l'ordre 3 de $f(x) $ au voisinage de $0$.

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer la valeur exacte de l'intégrale $J = \displaystyle\int_{0}^{0,1} \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^3}{3}  \right)\:\text{d}x$.
		\item  A-t-on $|I - J| \leqslant 10^{-4}$ ?\\
(Si c'est le cas, on peut considérer que $J$ est une bonne approximation de $I$)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 10 points}

\medskip

Les « Crédits réunis » réalisent une étude sur $100$ comptes épargne.

 Ils constatent que le montant de l'épargne sur un compte est en moyenne de $m = \np{2010}$~\euro{} avec un écart-type $s \approx 480$~\euro, et que $f = 15\:\%$ de ces montants sont supérieurs à \np{2500}~\euro.

\begin{enumerate}
\item  Soit $M$ la moyenne nationale du montant de l'épargne déposée sur les comptes ouverts aux « Crédits réunis ». 
	\begin{enumerate}
		\item Donner une estimation ponctuelle de $M$.
		\item Déterminer un intervalle de confiance de $M$, au seuil de risque de 5\:\%.
		
Les bornes de l'intervalle seront données à un euro près.

On rappelle que la variable aléatoire $X$ qui, à chaque échantillon de $n$ comptes, associe la moyenne des montants des épargnes, suit la loi normale $\mathcal{N}\left(M~ ;~\dfrac{s}{\sqrt{n-1}}\right)$.
	\end{enumerate}

\item	Soit $p$ la proportion (exprimée par un réel compris entre $0$ et $1$) des comptes dont le montant de l'épargne dépasse \np{2500}~\euro{} au plan national.
	\begin{enumerate}
		\item On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon de $100$ comptes épargne, associe le pourcentage de ceux dont le montant de l'épargne dépasse \np{2500}~\euro. On considère que la variable $Y$ suit approximativement une loi normale. En donner les paramètres.
		\item 	En prenant comme approximation ponctuelle de $p$ la valeur $f = 0,15$, déterminer un
intervalle centré en $0,15$ dans lequel $p$ a une probabilité de $0,9$ de se trouver. (Les bornes de cet intervalle seront arrondies au centième.)
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}