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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion Polynésie }}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Polynésie session 2009 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 7 points}

\medskip

Une entreprise fabrique et conditionne des steaks hachés. Deux indications figurent sur les emballages. La première est : \og Poids  net à l'emballage : 125 grammes \fg{} et la deuxième : \og Maximum 5\:\% de matières grasses \fg. 

\begin{enumerate}
\item On suppose que la variable aléatoire $X$ qui, à tout steak pris au hasard dans la production, associe son poids en grammes suit une loi normale de moyenne 135 et d'écart-type 15. Les poids des différents steaks sont indépendants les uns des autres. Sur la chaîne d'emballage un steak est jugé de \og  poids non conforme \fg{} si son poids est inférieur à 120 grammes et, dans ce cas, il est reconditionné.

	\begin{enumerate}
		\item  Montrer, en détaillant les calculs, que la probabilité qu'un steak soit de \og poids non  conforme \fg{} arrondie à la quatrième décimale, est égale à \nombre{0,1587}. 
		\item Les steaks sont vendus par boîtes de deux et les deux steaks d'une boîte sont choisis au hasard et de façon indépendante  dans la production. On choisit une boîte au hasard. Calculer la probabilité des évènements suivants :
		
\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item $A$ : \og la boîte contient deux steaks de poids non conforme \fg{}; 
\item $B$ : \og la boîte contient au moins un steak de poids non conforme \fg.
	
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
	\end{enumerate}	 
\item L'entreprise conditionne deux tonnes de viande par jour, soit \nombre{16000}~steaks. On note $Y$ la variable aléatoire qui à chaque jour, associe le nombre de steaks de \og  poids non conforme \fg. 

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité de la variable $Y$ ? Donner ses paramètres  puis calculer son espérance, arrondie au dixième, et son écart-type  arrondi au millième. 
	\item On approxime la variable $Y$ par une variable $Z$ qui suit une loi normale de paramètres  $m = \nombre{2539}$  et $\sigma = 46.$
	 
En utilisant cette approximation, calculer la probabilité que $Y$ soit compris entre \nombre{2500} et \nombre{2600}, c'est-à-dire le nombre $P(\nombre{2499,5} \leqslant  Z \leqslant \nombre{2600,5})$.
\end{enumerate}
 
\item On  constate que 1\:\% du stock ne présente pas le taux de matières grasses annoncé. On prélève un échantillon de 50~steaks au hasard dans la production. On assimilera ces prélèvements à 50~tirages aléatoires indépendants avec remise. On note $L$ la variable aléatoire qui, à tout échantillon de 50~steaks ainsi choisis, associe le nombre de steaks dont le taux de matières grasses est non conforme. 
 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire $L$ ? Justifier la réponse et donner les paramètres de cette loi.

	\item On approche la variable $L$ par une variable aléatoire $M$ qui suit la loi de Poisson de  paramètre 0,5. 

En utilisant cette approximation, calculer, avec la précision permise par la table, la probabilité que le nombre de steaks dont le taux de matières grasses est non conforme ne  dépasse pas 2.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

Une entreprise utilise de l'acier  comme matière première. Afin d'optimiser ses coûts et d'optimiser  l'influence de trop fortes variations des cours de l'acier, elle décide de passer des commandes à ses  fournisseurs à long terme. Le tableau suivant récapitule les consommations $y_{i}$, exprimées en milliers de tonnes, pour  les 10 dernières années ($i$ est compris entre 1 et 10). 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.8cm}|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Année $i$& 1999 &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
Rang $x_{i}$ &1 &2 &3&4 &5 &6 &7 &8 &9 &10 \\ \hline
Consommation $y_{i}$& 0,9 &1,03 &1,20 &1,39 &1,61 &1,87 &2,21 &2,40 &2,73 &3,37\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item  Calculer les coordonnées du point moyen G du nuage associé à la série statistique $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$. 
\item  Déterminer le coefficient de corrélation linéaire $_{y}$, arrondi au millième, de cette série. 
\item Donner une équation de la droite de régression de $y$ en $x$ par la méthode des moindres carrés. (Arrondir les coefficients à la quatrième décimale.) 
\item En utilisant cet ajustement affine, quelle consommation. exprimée en milliers de tonnes, peut-on prévoir en 2013 et en 2018 ?
\end{enumerate}

\bigskip

On étudie dans cette partie la série double $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ où $x_{i}$ et $y_{i}$ sont les valeurs du tableau précédent, et $z_{i} = \ln y_{i}$. 
\begin{enumerate}
\item Reproduire et compléter le tableau suivant, en arrondissant les résultats au millième : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.5cm}|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Rang $x_{i}$&1&2 &3 &4 &5 &6 &7 &8&9&10\\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}$&$-0,105$&&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\item Laquelle des deux séries, $\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ ou $\left(x_{i}~;~z_{i}\right)$ relève le mieux d'un ajustement affine ? Justifier la réponse. 

\item On prendra pour équation de la droite de régression de $z$ en $x$ l'équation : $z = 0,14x - 0,25$. On rappelle que $z =  \ln y$. Déduire de celte équation une expression de $y$ de la forme : $y = B\text{e}^{Ax}$, où $A$ et $B$ sont des constantes que l'on déterminera et que l'on arrondira au centième. 
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
On considère que la fonction numérique $f$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par : 
\[f(x) = 0,78\text{e}^{0,14x},\]
 est un modèle satisfaisant pour estimer la consommation d'acier de l'entreprise jusqu'en 2018.
  
\begin{enumerate}
\item Calculer la fonction dérivée de $f$. Étudier son signe, et dresser le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20].
 
\item À partir de ce modèle, quelle consommation peut-on prévoir pour les années 2013 et 2018 ? 

Comparer avec les résultats obtenus dans la partie A. 
\item Vérifier que la fonction numérique $F$ définie par : $F(x) = \dfrac{39}{7}\text{e}^{0,14x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~20]. 
\item En utilisant ce modèle, calculer à l'aide de la fonction $F$, la consommation annuelle moyenne d'acier que l'on peut prévoir pour la période $[2008 ~;~ 2018]$ (en milliers de tonnes), 
\end{enumerate}

\vspace{1cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\medskip

Le responsable du rayon primeurs d'un supermarché décide de réaliser une enquête sur les critères de choix des clients concernant l'achat des bananes. Il  retient trois critères, associés à trois variables booléennes : 

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[] $a$ : bananes vertes ($\overline{a}$ : bananes \og  tigrées \fg) ; 
\item[] $b$ : bananes de gros calibre ($\overline{b}$: bananes de petit calibre) ; 
\item[] $c$ : bananes \og  bio \fg{} provenant du commerce équitable ($\overline{c}$ : bananes bon marché). 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
Après dépouillement d'un questionnaire, il apparaît que les clients achètent des bananes:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item  si elles proviennent du commerce équitable et sont vertes ; 
\item   ou si elles sont de gros calibre et tigrées ; 
\item   ou si elles sont vertes et bon marché. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}


\begin{enumerate}
\item Traduire par une expression booléenne $E$ des trois variables $a,~ b,~ c$ l'ensemble des critères d'achat. 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item  Dresser un tableau de Karnaugh de l'expression $E$ puis en donner une expression simplifiée. 
	\item Traduire par une phrase cette expression simplifiée. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer à l'aide du calcul booléen que $E = a+b$. 
	\item En déduire une expression de $E$, et traduire cette expression par une phrase. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}