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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{14 mai 2012}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\session 14 mai 2012 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{ÉPREUVE OBLIGATOIRE}}

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

À un carrefour, le cycle d'un feu tricolore est tel que, chaque fois qu'un automobiliste se présente devant ce feu, on considère qu'on a affaire à une expérience aléatoire : la probabilité que ce feu soit vert est égale à $0,4$, celle qu'il soit rouge est égale à $0,5$, celle qu'il soit orange est égale à $0,1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Monsieur Germain travaille 250~jours dans une année et se présente devant ce feu chaque jour en se rendant à son travail. On assimile cette situation à 250~expériences aléatoires indépendantes du type précédent. Soit $X$ la variable aléatoire qui indique le nombre de jours dans l'année où Monsieur Germain se présente devant le feu alors qu'il est vert. 

Expliquer pourquoi la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale, et préciser ses paramètres. 
\item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par celle d'une variable aléatoire $X_{1}$ suivant une loi normale. 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que les paramètres de cette loi sont $m = 100$ et $\sigma = 7,75$. 
		\item Calculer $P\left(X_{1} \leqslant  80\right)$ puis $P\left(90 \leqslant X_{1} \leqslant 110\right)$, en arrondissant les résultats au millième. 
		\item Déterminer le réel $a$ tel que $P(100 - a \leqslant X_{1}  \leqslant 100 + a) = 0,95$. Arrondir à l'entier.
		 
Interpréter le résultat trouvé en formulant une phrase.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 4 points}

\medskip

Un immeuble de 30~étages ne comporte qu'un seul ascenseur A. Pour limiter le temps d'attente au rez-de-chaussée, on décide de mettre un deuxième ascenseur B en service avec un logiciel qui le fera descendre au rez-de-chaussée sous certaines conditions.
 
On considère les trois propositions suivantes :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{description}
\item[ ] $s$ : \og l'ascenseur A est à un étage supérieur au 15\up{e} étage\fg ; 
\item[ ] $m$ : \og l'ascenseur A monte \fg{}; 
\item[ ] $r$ : \og l'ascenseur A est appelé \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm} 
 
\begin{enumerate}
\item Traduire par une expression booléenne chacune des situations suivantes : 
	\begin{enumerate}
		\item \og l'ascenseur A est appelé alors qu'il est à un étage supérieur au 15\up{e} étage; 
		\item \og l'ascenseur A est appelé ou il ne monte pas \fg.
	\end{enumerate} 
\item À la suite d'une étude, on fait en sorte que l'ascenseur B descende au rez-de-chaussée chaque fois que l'expression booléenne $F = sr + m\overline{r} + \overline{s}m + s\overline{m}\overline{r}$ est vraie.
 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide d'un tableau de Karnaugh, écrire l'expression $F$ comme une somme de deux variables booléennes. 
		\item Traduire l'expression simplifiée de $F$ par une phrase. 
		\item Quelle est l'expression de $\overline{F}$ ? À quelle situation correspond-elle ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 11 points}

\medskip

\textbf{Partie A - Calcul de probabilités} 

\medskip

\emph{Pour toutes les probabilités calculées, on donnera les valeurs arrondies au millième.}
 
\begin{enumerate}
\item Dans un atelier de fabrication de composants électroniques, on estime que, chaque fois qu'on effectue un point de soudure, la probabilité que cette soudure soit défectueuse est égale à $0,001$. La fabrication d'un composant électronique nécessite 300~points de soudure, qui peuvent être défectueux ou non, et ce de façon indépendante.
 
On prélève au hasard dans la production un de ces composants électroniques. On note $X$ la variable aléatoire qui comptabilise le nombre de soudures défectueuses de ce composant.
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la variable $X$ suit une loi binomiale. Préciser les paramètres de cette loi. 
\item Calculer $P(X \geqslant 1)$.
\end{enumerate} 
\item On décide d'approcher la loi de la variable aléatoire $X$ par celle d'une variable aléatoire $Y$ suivant une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la valeur du paramètre $\lambda$. 
		\item Calculer $P(Y \geqslant 3)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B - Étude d'une fonction} 

\medskip

Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8] par : 

\[f(x) = 100(3x - 8)\text{e}^{- x}.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal \Oij.
 
La courbe $\mathcal{C}$ est représentée en annexe.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Calculer $f^{\prime}(x)$ en détaillant les calculs, et montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8], $f^{\prime}(x)$ est du signe de $11 - 3x$. 
\item En déduire les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~8], et dresser le tableau de variation. Dans ce tableau, les valeurs remarquables de $f(x)$ seront arrondies au centième. 
\item Soit $F$ la fonction définie pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~8] par : 

$F(x) = 100(- 3x + 5)\text{e}^{- x}$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $F$ est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~8]. 
		\item Sur la feuille annexe, hachurer la région du plan comprise entre la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x = 3$ et $x = 6$, puis calculer l'aire de cette région, en unité d'aire. Arrondir au dixième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie C - Application économique}

\medskip
 
Dans cette partie, on considère que $f(x)$ modélise le bénéfice (en milliers d'euros) réalisé par cette entreprise pour la fabrication et la vente de $x$ centaines de composants (pour $x$ compris entre 0 et 8).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le nombre de composants, arrondi à l'unité, que doit fabriquer l'entreprise pour réaliser un bénéfice maximal. Préciser ce bénéfice maximal, arrondi à l'euro. 
\item Déterminer graphiquement à la dizaine près le nombre de composants que doit fabriquer l'entreprise pour réaliser un bénéfice d'au moins \np{5000}~euros. Expliquer la démarche. 
\end{enumerate}

\newpage
\begin{center}
\textbf{\large{ANNEXE :} \`a rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-3)(8,9)
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\uput[u](8,0){$x$}\uput[r](0,9){$y$}\uput[ur](3,5){$\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}