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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{mai 2009}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2009 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\medskip

La société \emph{K-Gaz} décide de recruter en interne des collaborateurs pour sa filiale en Extrême-Orient.

\medskip

Pour chaque employé, on définit les variables booléennes suivantes : 
 
$a = 1$ s'il a plus de cinq ans d'ancienneté dans l'entreprise ; 

$b = 1$ s'il possède un B.T.S. informatique de gestion (BTS-lG) ; 

$c = 1$ s'il parle couramment l'anglais. 

\medskip

La direction des ressources humaines décide que pourront postuler les employés :

qui satisfont aux trois conditions, 

ou qui ont moins de 5 ans d'ancienneté mais qui maîtrisent l'anglais,

ou qui ne maîtrisent pas l'anglais mais qui possèdent un BTS-IO. 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Écrire une expression booléenne $E$ traduisant les critères de la direction. 
\item Représenter l'expression $E$ par un tableau de Karnaugh. 
\item À l'aide du tableau de Karnaugh, donner une expression simplifiée de $E$. 
\item Retrouver ce résultat par le calcul. 
\item Déduire des questions 3 ou 4 une version simplifiée des critères de la direction. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 8 points}

\medskip

\textbf{Tous les résultats seront arrondis à la quatrième décimale.}
 
La société \emph{K-Gaz} produit des bonbonnes de gaz de volume utile 44 dm$^3$.

\bigskip 

\textbf{Partie A}

\medskip
 
On désigne par $X$ la variable aléatoire qui, à chaque bonbonne tirée au hasard dans la production, associe sa contenance en dm$^3$.
 
On admet que la variable $X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(44~;~ 0,2)$ de moyenne $m = 44$~dm$^3$ et d'écart-type $\sigma = 0,2$~dm$^3$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la contenance d'une bonbonne choisie au hasard soit inférieure à 44,3~dm$^3$ ? 
\item Quelle est la probabilité que la contenance d'une bonbonne choisie au hasard soit comprise entre 43,8~dm$^3$ et 44,3~dm$^3$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B} 

\medskip

Dans cette partie. on admet que 5\,\% des bonbonnes n'ont pas la contenance nécessaire, et sont donc jugées non conformes.
 
Les grossistes achètent les bonbonnes par lots de 10. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item La production est suffisamment importante pour que l'on assimile le prélèvement au hasard de 10~bonbonnes à un tirage avec remise. Soit $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 10~bonbonnes, associe le nombre de bonbonnes non conformes. 
	\begin{enumerate}
		\item Expliquer pourquoi $Y$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(10~;~ 0,05)$. 
		\item Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il n'y ait aucune bonbonne non conforme ? 
		\item Quelle est la probabilité que, dans un lot de 10, il y ait au plus deux bonbonnes non conformes ?
	\end{enumerate} 
\item Une association de consommateurs achète 10~lots (donc 100ñ bonbonnes) pour contrôler leur contenance. Elle affirme qu'il y a plus d'une chance sur deux que, parmi ces cent bonbonnes, il y ait au moins cinq bonbonnes non conformes.
 
Soit $Y'$ la variable aléatoire qui, à tout lot de 100~bonbonnes prélevées au hasard dans la production, associe le nombre de bonbonnes non conformes.
 
On admet que $Y'$ suit la loi binomiale $\mathcal{B}(100~;~ 0,05)$. 
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'espérance mathématique $E(Y')$ et l'écart-type $\sigma_{Y'}$ de la variable $Y'$ ? 
		\item La loi de probabilité de $Y'$ peut être approchée par une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. On notera $Z$ la variable aléatoire suivant cette loi de Poisson.
	 
Déterminer la valeur de $\lambda$. 
		\item Calculer à l'aide de cette loi de Poisson la probabilité $P(Z \leqslant 4)$ avec la précision permise par la table. 
L'affirmation de l'association de consommateurs est-elle fondée ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip 
 
\textbf{Partie C}

\medskip
 
Pour parer toute critique, la société \emph{K-Gaz} décide de procéder à un contrôle de conformité. Toute bonbonne non conforme sera rejetée.
 
On admet toujours que 5\,\% des bonbonnes sont non conformes. 

Si la bonbonne est non conforme, elle sera rejetée avec une probabilité de 0,92.

 Si la bonbonne est conforme, elle sera acceptée avec une probabilité de 0,96.
 
On note : 
  
$C$ l' évènement : \og la bonbonne est conforme \fg{} ;
 
$\overline{C}$  l'évènement : \og la bonbonne est non conforme \fg{} ;
 
$A$ l'évènement : \og la bonbonne est acceptée à l'issue du contrôle \fg{} ;

$\overline{A}$ l'évènement : \og la bonbonne est rejetée à l'issue du contrôle \fg. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant les informations de l'énoncé, déterminer les probabilités $P(C),~ P\left(\overline{C}\right),~ P_{C}(A)$ et 
$P_{\overline{C}}\left(\overline{A}\right)$. 

\medskip

Dans la suite, on pourra s'aider d'un arbre. 

\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la bonbonne est conforme et acceptée \fg. 
\item Calculer la probabilité de l'évènement : \og la bonbonne est acceptée \fg. 
\item Sachant que la bonbonne est rejetée, quelle la probabilité qu'elle soit non conforme ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip

L'entreprise \emph{K-Gaz} fabrique et commercialise également un produit chimique. Pour des raisons pratiques, sa production mensuelle ne peut pas excéder 10 tonnes.

\medskip
 
Partie A - Étude du coût total de production. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'entreprise \emph{K-Gaz} a relevé le coût total de production mensuel (en k\euro), noté $y$, en fonction de la production $x$ (en tonnes). Le nuage de points correspondant figure en annexe. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1 &2 &4 &6 &8 &10 \\ \hline
$y$&32,5 &38,5& 44,6& 48,4 &51,1 &53,3 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item  Le nuage ne semblant pas totalement se prêter à un ajustement affine on décide de poser: $z = \text{e}^{0,1y}$. 
		
Compléter sur la feuille annexe le tableau reproduit ci-dessous en arrondissant les valeurs de $z$ au centième. 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1 	&2 	 &4 	&6 	&8     &10  \\ \hline 
$z$&25,79	&46,99&		&		&		&  \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer une équation de la droite de régression de $z$ en $x$ par la méthode des moindres carrés (on arrondira les coefficients à la première décimale). 
		\item Expliquer pourquoi cet ajustement semble justifié.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item  Utiliser le résultat de la question \textbf{1. b.} pour obtenir une expression de $y$ en fonction de $x$. 
		\item  En utilisant cette équation, estimer le coût total correspondant à une production de 7~tonnes.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude de la recette et du bénéfice}

\medskip 

L'entreprise \emph{K-Gaz} vend chaque tonne de ce produit chimique au prix de 8~k\euro. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item  On désigne par $R(x)$ la recette en k\euro{} correspondant à $x$ tonnes vendues. Exprimer $R(x)$ en fonction de $x$. 
		\item Représenter graphiquement cette fonction dans le repère en annexe. 
		\item On admet que le coût en k\euro, noté $C(x)$, correspondant à une production de $x$ tonnes, est donné par l'expression: $Cx) = 10\ln (20x + 6,4)$. 
	
Expliquer pourquoi le bénéfice mensuel de l'entreprise (en k\euro), noté $B(x)$, correspondant à $x$ tonnes produites et vendues, est donné par la relation: $B(x) = 8x - 10 \ln (20x + 6,4)$.
	\end{enumerate} 
\item On considère la fonction $B$ définie sur [0~;~10] par l'expression : $B(x) = 8x-10\ln (20x + 6,4)$.  
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10] on a : $B'(x) = \dfrac{160x-148,8}{20x+6,4}$. 
		\item Étudier le signe de $B'(x)$ sur cet intervalle et dresser le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
		\item Justifier que l'équation $B(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [0~;~10]. 
À l'aide de la calculatrice. donner la valeur arrondie au centième par excès de $\alpha$. 
		\item À partir de quelle quantité produite l'entreprise \emph{K-gaz} réalisera un bénéfice (positif) ? 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{\large Feuille annexe}

\medskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.1cm}
\begin{pspicture}(11,55)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(11,55)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,54)}
\multido{\n=0+2}{28}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(11,\n)}
\psdots[dotstyle=*](1,32.5)(2,38.5)(4,44.6)(6,48.4)(8,51.1)(10,53.3)
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$&1 &2 &4 &6 &8 &10  \\ \hline
$z$&25,79&46,99&&&& \\ \hline
\end{tabularx}

\begin{center}

\vspace{2cm}

\textbf{Représentation graphique de } \boldmath $R(x)$ \unboldmath

\bigskip

\psset{xunit=1cm,yunit=0.12cm}
\begin{pspicture}(11,85)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(11,85)
\multido{\n=0+1}{12}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,0)(\n,84)}
\multido{\n=0+2}{42}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(11,\n)}
\uput[d](11,0){$x$} \uput[l](0,85){$R(x)$}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}