%!TEX encoding = UTF-8 Unicode \documentclass[10pt]{article} \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \usepackage{amsmath,amssymb,makeidx} \usepackage{fancybox} \usepackage{tabularx} \usepackage{graphicx} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{textcomp} \newcommand{\euro}{\eurologo{}} %Tapuscrit : Denis Vergès \usepackage{pst-plot,pst-text} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \setlength{\textheight}{23,5cm} \newcommand{\vect}[1]{\mathchoice% {\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}% {\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \setlength{\voffset}{-1,5cm} \usepackage{fancyhdr} \usepackage[np]{numprint} \usepackage[frenchb]{babel} \begin{document} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}} \lhead{\small Brevet de technicien supérieur} \lfoot{\small{Informatique de gestion}} \rfoot{\small{juin 2008}} \renewcommand \footrulewidth{.2pt} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2008 - Informatique de gestion}} \vspace{0,25cm} ÉPREUVE OBLIGATOIRE Durée : 3 heures \hfill Coefficient : 2 \end{center} \vspace{0,25cm} \textbf{Exercice 1 \hfill 7 points} \medskip La société d'exploitation forestière JURABOIS exploite des coupes et commercialise le bois auprès de scieries situées en France, en Suisse et en Allemagne. Grâce a une équipe d'agents commerciaux efficaces, la société gagne tous les ans de nouveaux clients, le nombre de ces nouveaux clients étant à peu près le même chaque année. Par ailleurs, un certain pourcentage de clients abandonne chaque année la société pour se tourner vers une société concurrente. Ce pourcentage varie peu d'une année à l'autre. \medskip Le tableau ci-dessous donne l'évolution du nombre de clients de la société JURABOIS au cours des dix dernières années.\\ \medskip {\small \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année& 1998&1999&2000& 2001&2002& 2003& 2004&2005 &2006& 2007\\ \hline Nombre de clients&\np{1000}&\np{1030}& \np{1056}& \np{1080}& \np{1100}& \np{1118}&\np{1134}& \np{1149}&\np{1160}&\np{1171}\\ \hline \end{tabularx}} \medskip \textbf{Partie A}\\ \begin{enumerate} \item Compléter, sur la feuille annexe, le tableau reproduit ci dessous, dans lequel on désigne par : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $n$ le rang de l'année à partir de 1998 (ainsi $n = 0$ pour 1998) ; \item[$\bullet~$] $u_{n}$, le nombre de clients de la société pour l'année $(1998+ n)$ (ainsi $u_{0} = \np{1000}$) ; \item[$\bullet~$] $x_{n}= u_{n}$ et $y_{n} = u_{n+1}$ (ainsi $x_{0}=\np{1000}$ et $y_{0} = \np{1030}$). \end{itemize} \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année& 1998& 1999& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline $n$& $0$& $1$&&&&&&&\\ \hline $x_{n} = u_{n}$&\np{1000}&\np{1030}&&&&&&&\\ \hline $y_{n} = u_{n+1}$&\np{1030}& \np{1056}&&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item En déterminant avec une calculatrice, une équation de la droite de régression de $y$ en $x$, par la méthode des moindres carrés, donner deux réels $m$ et $p$ qui modélisent la relation entre $u_{,,1n+1}$ et $u_{n}$ sous la forme $u_{n+1} = mu_{n} +p$. (On arrondira $m$ à la cinquième décimale, et $p$ à la deuxième décimale.) \item Calculer le coefficient de corrélation linéaire entre $x$ et $y$ et l'interpréter. \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip On étudie alors la suite $\left(u_{n}\right)$ définie par : $u_{n+1} = 0,88u_{n} + 150$, avec $u_{0} = \np{1000}$, chaque terme $u_{n}$ étant une bonne approximation du nombre de clients de la société JURABOIS pour l'année $(1998+n)$. \medskip \begin{enumerate} \item On pose, pour tout entier $n : v_{n} = u_{n} - \np{1250}$. Montrer que la suite $\left(v_{n}\right)$ est géométrique. Donner sa raison et son premier terme $v_{0}$. \item En déduire l'expression de $v_{n}$ en fonction de $n$. \item Montrer que : $u_{n} = \np{1250} - 250 \times 0,88^n$. \item Déterminer la limite de la suite $\left(u_{n}\right)$. \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie C} \medskip \begin{enumerate} \item En se référant au préambule de l'exercice et en utilisant la formule : $u_{n+1} = 0,88u_{n} + 150$, donner une estimation du nombre de nouveaux clients gagnés chaque année et une estimation du pourcentage de clients perdus d'une année à l'autre. \item À partir de quelle année peut-on prévoir que le nombre de clients dépassera \np{1200} ? \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 2 \hfill 4 points} \medskip La société JURABOIS exploite des coupes constituées exclusivement de feuillus et de résineux. Elle désire simplifier le règlement que ses salariés doivent appliquer pour la coupe du bois. Actuellement le règlement dit qu'un arbre est à abattre dans les quatre cas suivants : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] si c'est un résineux au tronc droit mesurant plus de 20 ~m de hauteur ; \item[$\bullet~$] si c'est un feuillu de 50~ans ou plus; \item[$\bullet~$] s'il a moins de 50~ans et mesure plus de 20~m de hauteur ; \item[$\bullet~$] s'il est tordu. \end{itemize} Pour un arbre quelconque, on définit les variables booléennes suivantes par :\\ \begin{itemize} \item[] $a = 1$ si l'arbre est un résineux ; \item[] $b = 1$ si l'arbre a moins de 50~ans ; \item[] $c = 1$ si l'arbre mesure plus de 20~m de hauteur ; \item[] $d = 1$ si l'arbre est tordu. \end{itemize} \medskip \begin{enumerate} \item Écrire la fonction booléenne $f(a,~ b,~ c,~ d)$, qui traduit le règlement actuel d'abattage d'un arbre. Grâce à une bonne gestion des forêts que la société exploite, il n'y a maintenant plus d'arbres tordus. \item Montrer que le nouveau règlement d'abattage se traduit par la fonction : \[g(a,~b,~c) = ac + \overline{a}\overline{b} +bc.\] \item Donner le tableau de Karnaugh de cette fonction. \item Simplifier au maximum cette fonction à l'aide du tableau de Karnaugh. \item Écrire la nouvelle régie d'abattage d'un arbre sous la forme la plus simple possible. \end{enumerate} \vspace{0,5cm} \textbf{Exercice 3 \hfill 9 points} \medskip \textbf{Partie A} \medskip \emph{Les probabilités demandées seront arrondies à la quatrième décimale.} \begin{enumerate} \item Les sapins vendus par la société JURAROIS peuvent présenter deux défauts invisibles avant l'abattage, l'un dû à une attaque par un insecte, l'autre dû à la présence d'un champignon. Les deux défauts sont indépendants l'un de l'autre. Pour un sapin choisi au hasard, on note : \begin{itemize} \item[$\bullet~$] $I$ l'évènement: \og le sapin présente le défaut dû à l'insecte \fg ; \item[$\bullet~$] $C$ l'évènement : \og le sapin présente le défaut dû au champignon ; \item[$\bullet~$] $D$ l'évènement: \og le sapin présente au moins un défaut \fg. \end{itemize} Une étude a montré que la probabilité des évènements $I$ et $C$ sont respectivement $P(I) = \np{0,0358}$ et $P(C)= \np{0,0249}$. \begin{enumerate} \item Calculer $P(I \cap C)$. \item En déduire $P(D)$. \end{enumerate} On admet que la probabilité $p$ qu'un tronc de sapin présente au moins un défaut est égale à : $p = 0,06$ et que les différents troncs peuvent présenter ou non au moins un défaut de façon indépendante. Les clients de la société achètent les troncs de sapins par lots de $n$ troncs. On note $Y$ la variable aléatoire qui, à tout lot de $n$ troncs, associe le nombre de troncs présentant au moins un défaut. \item Pour la \og Scierie bisontine \fg, on a : $n = 50$. \begin{enumerate} \item Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Y$ ? Justifier la réponse. \item Calculer $P(Y = 6)$. \item On admet que l'on peut approcher la loi de $Y$ par une loi de Poisson. Quel est le paramètre de cette loi ? \item M. Landry, directeur de la Scierie bisontine affirme qu'il a plus de 90\,\% de chances d'avoir au maximum 5~troncs défectueux dans un lot donné. A-t-il raison ? Pourquoi ? \end{enumerate} \item Le \og Groupement des Scieries Vaudoises \fg achète ses troncs de sapins par lot de 450~sapins. On décide d'approcher la variable $Y$ par une variable $Z$ qui suit la loi normale d'espérance $27$ et d'écart-type $5$. \begin{enumerate} \item Justifier le choix de ces paramètres, \item Utiliser cette approximation pour calculer $P(Y \leqslant 24)$, c'est-à-dire calculer : $P(Z \leqslant 24,5)$. \item De même, donner une approximation de $P(25 \leqslant Y \leqslant 31)$, en calculant $P(24,5 \leqslant Z \leqslant 31,5)$. \end{enumerate} \end{enumerate} \bigskip \textbf{Partie B} \medskip Le PDG de JURABOIS entreprend une étude sur le prix du mètre cube de sapin au cours du temps. Il établit que, si $t$ est le temps écoulé, en mois, depuis le 1\up{er} janvier 2005, $p(t)$ s'exprime, en euros, par : \[p(t) = 41 + 0,2t+1,6 \text{e}^{ - 0,125t+2,5}.\] La courbe représentative de la fonction $p$ est donnée dans la feuille annexe. \medskip \begin{enumerate} \item Compléter sur la feuille annexe, le tableau reproduit ci-dessous en arrondissant à la deuxième décimale.\\ \medskip \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline dates&\scriptsize 01.01.2005&\scriptsize 01.07.2005& \scriptsize 01.01.2006&\scriptsize 01.07.2006&\scriptsize 01.01.2007&&\scriptsize 01.01.2009&\scriptsize 01.01.2011\\ \hline $t$& 0& 6& 12& 18& 24 & 36&&\\ \hline $p(t)$&60,49&& 47,75& &&&&\\ \hline \end{tabularx} \medskip \item Calculer la dérivée $p'(t)$, vérifier que $p'(t)$ est du signe de $1- \text{e}^{- 0,125t+2,5}$, puis dresser le tableau des variations de la fonction $p$ sur l'intervalle [0 ; 72]. \item Déterminer par lecture graphique la date (année-mois) à partir de laquelle le prix du mètre cube de sapin dépassera à nouveau 50~\euro. (On fera apparaître les traits de constructions sur la feuille annexe, à rendre avec la copie.) \item Déterminer une primitive de la fonction $p$ sur l'intervalle [0 ; 72]. En déduire une valeur, arrondie au centime d'euro près, du prix moyen du mètre cube de sapin pendant les années 2005-2007, en calculant l'intégrale: \[I = \dfrac{1}{36}\int_{0}^{36} p(t)\:\text{d}t.\] \end{enumerate} \newpage \begin{center} \textbf{Feuille annexe à compléter et à rendre avec la copie} \end{center} \textbf{EXERCICE \No 1 Partie A 1}\\ \begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Année& 1998& 1999& 2000& 2001& 2002& 2003& 2004& 2005& 2006\\ \hline $n$ & $0$ &$1$ &&&&&&&\\ \hline $x_{n} = u_{n}$ &\np{1000} &\np{1030} &&&&&&&\\ \hline $y_{n} = u_{n+1}$ &\np{1030} &\np{1056} &&&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{EXERCICE \No 3 Partie B 1} \medskip \begin{tabularx}{1.05\linewidth}{|c|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline Dates&\footnotesize 01.01.2005&\footnotesize 01.07.2005& \footnotesize 01.012006&\footnotesize 01.07.2006&\footnotesize 01.01.2007&&\footnotesize 01.01.2009&\footnotesize 01.01.2011\\ \hline $t$& $0$& $6$& $12$&$18$&$24$&$36$&&\\ \hline $p(t)$& $60,49$&& $47,75$&&&&&\\ \hline \end{tabularx} \bigskip \textbf{Partie B 3} \medskip La courbe suivante est la représentation graphique de la fonction $t \longmapsto p(t)$ sur l'intervalle [0~;~72]. \begin{center} \psset{xunit=0.15cm,yunit=0.4cm} \begin{pspicture}(-5,35)(80,65) \psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=10,Dy=5,Oy=40]{->}(0,40)(-5,35)(80,65) \multido{\n=0+10}{9}{\psline[linestyle=dotted](\n,40)(\n,65)} \multido{\n=40+5}{6}{\psline[linestyle=dotted](0,\n)(80,\n)} \psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500]{0}{72}{1.6 2.71828 2.5 x 0.125 mul sub exp mul 0.2 x mul add 41 add} \uput[dr](0,39.5){0} \end{pspicture} \end{center} \end{document}