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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\small A. P. M. E. P.}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Informatique de gestion}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur Métropole~\decofourright\\ session 2010 - Informatique de gestion}}

\vspace{0,25cm}

ÉPREUVE OBLIGATOIRE

Durée :  3 heures \hfill 	Coefficient : 2
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\medskip

Dans le lycée DUJARDIN, les classes de BTS informatique de gestion disposent de 4 salles spécialisées $A, B, C, D$. Trois portes, permettant le passage dans les deux sens, relient les salles A et B, les salles A et C et les salles B et D.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Dessiner une représentation du graphe $G$ orienté associé au passage d'une salle à l'autre.  
\item  Justifier que la matrice d'adjacence $M$ du graphe $G$ est : $M = \begin{pmatrix}
0&1&1&0\\
1&0&0&1\\
1&0&0&0\\
0&1&0&0\\
\end{pmatrix}$
\item  Calculer la matrice $M^2$ et justifier qu'il existe 6 circuits de longueur 2.
 \item  On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
0& 3& 2& 0\\ 
3& 0& 0& 2\\
2& 0& 0& 1\\
0& 2& 1& 0\\
\end{pmatrix}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de chemins de longueur 3. 
		\item Donner la liste des chemins de longueur 3 ayant pour origine $A$ et pour extrémité $B$. 
		\item Le graphe admet-il des circuits de longueur 3 ? Justifier la réponse donnée.
	\end{enumerate} 
\item  Matrices et opérations booléennes. 
	\begin{enumerate}
		\item Écrire les deux matrices booléennes $M^{[2]}$ et $M^{[3]}$. 
		\item Calculer la somme $M \oplus M^{[2]} \oplus M^{[3]}$ où $\oplus$ désigne l'addition booléenne des matrices et en déduire la matrice $\hat{M}$ de la fermeture transitive du graphe $G$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}

\medskip 

\emph{Les deux parties sont indépendantes. Tous les résultats des calculs seront arrondis au millième.}

\medskip
 
\textbf{Première partie} 

\medskip

Au cours de l'année scolaire 2008--2009, une enquête a été réalisée auprès des \nombre{3000}~élèves du lycée DUJARDIN, afin de savoir s'ils utilisent régulièrement l'outil informatique pour leurs études. On a obtenu les résultats suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] 25\:\% des élèves du lycée sont inscrits en \og post-bac \fg{} et parmi ces élèves, 50\:\% d'entre eux déclarent utiliser quotidiennement l'ordinateur. 
\item[$\bullet~$] 10\:\% des élèves inscrits en \og pré-bac \fg{} dans ce lycée déclarent utiliser quotidiennement un ordinateur.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
On interroge au hasard un élève du lycée et on définit les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~$] $A$ : \og l'élève est inscrit en \og post bac \fg{}\fg. 
\item[$\bullet~$] $I$ : \og l'élève utilise quotidiennement un ordinateur\fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

 \begin{enumerate}
\item Donner les probabilités $p(A),~p\left(\overline{A}\right),~p_{A}(I),~  p_{\overline{A}}(I)$. 
\item Calculer la probabilité des évènements suivants : 
	\begin{enumerate}
		\item l'élève est un étudiant post-bac et utilise quotidiennement un ordinateur pour ses études ; 
		\item  l'élève utilise  quotidiennement un ordinateur pour ses études ; 
		\item l'élève est un étudiant post-bac ou utilise quotidiennement un ordinateur pour ses études ; 
		\item l'élève est un étudiant post-bac sachant qu'il utilise quotidiennement un ordinateur pour ses études. 
	\end{enumerate}
	
\emph{On pourra s'aider d'un arbre pondéré ou d'un tableau à double entrée}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Deuxième partie}

\medskip 

L'enquête a montré que 50\,\% des élèves inscrits \og en post-bac \fg{} au lycée DUJARDIN utilisent quotidiennement un ordinateur pour leurs études. On interroge successivement et de manière indépendante, 64 élèves inscrits  en \og post-bac \fg.
 
On note $X$, la variable aléatoire qui comptabilise, parmi les 64 interrogés, le nombre d'élèves, qui utilisent quotidiennement un ordinateur.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Expliquer pourquoi la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$ est une loi binomiale et préciser les paramètres de cette loi. 
\item On admet que la variable aléatoire $X$ peut être approchée par une variable aléatoire $Y$ qui suit une loi normale de paramètres $m$ et $\sigma$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $m = 32$ et que $\sigma = 4$. 
		\item Calculer la probabilité $p(Y \leqslant 36,5)$ de l'évènement  \og au plus 36 étudiants utilisent quotidiennement un ordinateur \fg.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Troisième partie}

\medskip
 
L'enquête a montré en outre que 10\:\% des élèves du lycée inscrits en \og pré-bac \fg{} utilisent quotidiennement un ordinateur. On interroge successivement 100~élèves du lycée inscrits en \og pré-bac \fg. On admet que l'effectif du lycée est suffisamment important pour que les interrogations soient considérées comme indépendantes.

\medskip
 
On note $X'$ la variable aléatoire qui comptabilise, parmi les 100~interrogés, le nombre d'élèves qui utilisent quotidiennement un ordinateur. La loi de probabilité de la variable aléatoire $X'$ est donc la loi binomiale de paramètres $n = 100$ et $p = 0,1$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Donner la formule qui permet d'obtenir $P(X' = 10)$ et donner une valeur approchée arrondie au millième de cette probabilité. 
\item On admet que la variable aléatoire $X'$  peut être approchée par une variable aléatoire $Y'$ qui suit une loi de Poisson de paramètre $\lambda$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer  la valeur de $\lambda$. 
		\item En utilisant la table, calculer la probabilité de l'évènement : \og au moins 2 élèves inscrits en \og pré-bac \fg{} utilisent quotidiennement un ordinateur \fg.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 8 points}

\medskip  
 
\emph{Les deux parties sont indépendantes.}
 
\emph{Sauf indication contraire, on donnera les résultats arrondis au millième.}

\medskip
 
\textbf{Première partie}

\medskip
 
Le lycée DUJARDIN a fait un gros effort d'investissement pour l'informatique pédagogique. Le tableau suivant donne le nombre d'ordinateurs disponibles lors des dernières rentrées scolaires :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
Années& 2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008\\ \hline 
$x_{i}$ : rang de l'année& 1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8\\ \hline
$y_{i}$ : nombre d'ordinateurs& 140 &160 &180 &220 &260 &320 &380& 450\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ sous la forme $y = ax + b$.

\emph{$a$ sera arrondi au dixième et $b$ à l'unité. Aucun calcul intermédiaire n'est exigé.}
 
\item Avec ce modèle linéaire, donner une estimation du nombre d'ordinateurs disponibles à la rentrée 2010.
\item Recopier et compléter le tableau suivant :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline 
$x_{i}$ : rang de l'année	& 1 	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline 
$z_{i} = \ln y_{i}$			& 4,942 & 	&	& 	& 	& 	& 	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item Donner le coefficient de corrélation de $z$ en $x$. Que peut-on en conclure ? 
\item Déterminer, par la méthode des moindres carrés, une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$.

\emph{Aucun calcul intermédiaire n'est exigé.}
 
\item En déduire une expression du nombre d'ordinateurs disponibles sous la forme $y = A \text{e}^{Bx}$.
 
\emph{A sera arrondi à l'unité et B au millième.}
 
\item Avec ce modèle exponentiel donner une estimation du nombre d'ordinateurs disponibles à la rentrée 2010.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Deuxième partie}

\medskip
 
On note $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
 
\[f(x) = 113\text{e}^{0,171x}.\]
 
On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal \Oij{} 
(unités graphiques : 2~cm pour une unité sur l'axe des abscisses et 1~cm pour 50~unités sur l'axe des ordonnées).

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de $f$ en $+\infty$. 
\item Détermination des variations de la fonction $f$ 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $f'$ et étudier son signe sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$. 
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
	\end{enumerate} 
\item  Déterminer une équation de la tangente $\mathcal{T}$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point A d'abscisse $0$. 
\item  Tracé de la courbe $\mathcal{C}$ 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter le tableau suivant. \emph{On donnera les valeurs arrondies à l'unité.}
		
\medskip
		 
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{9}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x$		&1	&2 	&3 	&4 	&5 	&6 	&7 	&8\\ \hline
$f(x)$	&	&	&	&	&	&	&	&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
		\item Tracer la courbe $\mathcal{C}$ et la tangente $\mathcal{T}$ dans le repère orthogonal \Oij. 
		\item Calculer la valeur moyenne $m$ de $f$ sur l'intervalle [1~;~8]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à l'unité.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}
\end{document}