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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
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\chead{Brevet de technicien supérieur}
\rhead{Session 2011}
\rfoot{Groupement B}
\cfoot{Page \thepage / \pageref{lastpage}}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 10 mai 2011 - groupement B}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\noindent
\textbf{EXERCICE 1} \hfill 12 points

\begin{center}
\textbf{\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

\emph{A. Résolution d'une équation différentielle}

\medskip

On considère l'équation différentielle $(E) :~~ y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} +2y=-2\text{e}^x+6$ où $y$ est une fonction inconnue de la variable réelle $x$, définie et deux fois dérivable sur \R, $y'$ la fonction dérivée de $y$ et $y''$ sa fonction dérivée seconde.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans \R~l'équation : $r^2 - 3r + 2 = 0$.
		\item En déduire les solutions définies sur \R~de l'équation différentielle:

 \[(E_0):~~y^{\prime\prime} - 3y^{\prime} + 2y = 0.\]
 
	\end{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie sur \R~par $g(x) = 2x \text{e}^x + 3$.
	\begin{enumerate}
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte. On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

La fonction dérivée $g'$ de la fonction $g$ est définie sur \R~par :

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \i/\texte in {1/$g'(x) = 2 \text{e}^x$,2/$g^{\prime}(x) = 2x \text{e}^x$, 3/$g^{\prime}(x) = (2x + 2) \text{e}^x$}{
\node[draw,minimum width=5cm]()at(5*\i,0){\texte};}
\end{tikzpicture}
\end{center}

		\item Démontrer que la fonction $g$ est une solution particulière de l'équation différentielle $(E)$.
	\end{enumerate}
\item En déduire l'ensemble des solutions de l'équation différentielle $(E)$.
\item Déterminer la solution  $f$ de l'équation différentielle $(E)$ qui vérifie les conditions initiales $f(0)=2$ et $f'(0)=1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B. Étude d'une fonction et calcul intégral}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur \R~par $f(x) = (2x - 1) \text{e}^x + 3$. On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans le plan muni d'un repère orthogonal.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On admet le résultat suivant :  $\lim_{x\to-\infty} xe^x=0$.

Calculer $\displaystyle\lim_{x\to-\infty} f(x)$.
		\item En déduire que la courbe $\mathcal{C}$ admet une droite asymptote dont on donnera une équation.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que le développement limité, à l'ordre 2, au voisinage de 0, de la fonction $f$ est : $f(x) = 2 + x + \frac{3}{2} x^2 + x^2 \varepsilon(x)$ avec  $\lim_{x\to0} \varepsilon(x) = 0$.
		\item En déduire une équation de la tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.
		\item \emph{Cette question est une question à choix multiples. Une seule réponse est exacte.\\
Recopier sur la copie la réponse qui vous paraît exacte.  On ne demande aucune
justification.\\
La réponse juste rapporte un point. Une réponse fausse ou une absence de réponse ne
rapporte ni n'enlève de point.}

On veut justifier qu'au voisinage du point d'abscisse 0, la courbe $\mathcal{C}$ est au-dessus de la droite $T$. Recopier sur votre copie la justification exacte.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\foreach \i/\texte in {1/\begin{minipage}{3.1cm}{$\frac{3}{2}x^2$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},2/\begin{minipage}{3.1cm}{$x^2 \varepsilon(x)$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage},3/\begin{minipage}{3.1cm}{$2 + x$ est positif au voisinage de 0.}\end{minipage}}{
\node[draw,minimum width=5cm,minimum height=1.6cm]()at(5*\i,0){\texte};}
\end{tikzpicture}
\end{center}

	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction dérivée de $f$ est donnée, pour tout $x$ réel, par : $f'(x) = (2x + 1)e^x$.
	\begin{enumerate}
		\item Étudier sur \R{}le signe de $f'(x)$ puis en déduire le sens de variation de $f$ sur \R.
		\item Donner la valeur approchée arrondie à 0,01 du minimum de la fonction $f$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On note $I=\int_0^{0,5}\left(2+x+\frac{3}{2}x^2\right)\text{d}x$.

Démontrer que $I= 1,1875$.
		\item On note $K=\int_0^{0,5} (2x- 1)\text{e}^x\text{d}x$.

Démontrer, à l'aide d'une intégration par parties, que $K = 3 - 2\text{e}^{0,5}$.
		\item On note $J= \int_0^{0,5} f(x) \text{d}x$.

En utilisant la question précédente, déterminer la valeur exacte de $J$.
		\item Vérifier que $J - I$ est inférieur à $2 \times 10^{-2}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{EXERCICE 2}\hfill  8 points

\begin{center}
\emph{\textbf{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}}
\end{center}

Une entreprise fabrique des barres de combustible pour des centrales électriques. Des pastilles de combustible sont introduites dans des gaines qui servent à réaliser ces barres.

\begin{center}
\textbf{Dans cet exercice, les résultats approchés sont à arrondir à $10^{-3}$.}
\end{center}

\emph{A. Loi normale}

\medskip

Une gaine est considérée comme conforme pour le diamètre lorsque le diamètre intérieur, exprimé en millimètres, appartient à l'intervalle [8,18~;~8,48].

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque gaine prélevée au hasard dans la production d'une journée, associe son diamètre intérieur.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne 8,33 et d'écart type 0,09.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité qu'une gaine ainsi prélevée soit conforme pour son diamètre intérieur.
\item Calculer le nombre réel $h$ positif tel que $P(8,33 - h \leqslant X \leqslant 8,33 + h) = 0,95$. Interpréter le résultat à l'aide d'une phrase.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{B.	Loi binomiale}

\medskip

On considère un stock important de gaines. On note $E$ l'événement : « une gaine prélevée au hasard dans le stock n'est pas conforme pour le diamètre intérieur ».

On suppose que $P(E) = 0,096$.

On prélève au hasard $50$ gaines dans le stock pour vérification du diamètre intérieur. Le stock est suffisamment important pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de $50$ gaines.

On considère la variable aléatoire $Y$ qui, à tout prélèvement de 50 gaines ainsi défini, associe le nombre de gaines non conformes pour le diamètre intérieur de ce prélèvement.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que la variable aléatoire $Y$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, cinq gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur.
\item Calculer la probabilité que, dans un tel prélèvement, au plus deux gaines ne soient pas conformes pour le diamètre intérieur.
\end{enumerate}

\bigskip

\emph{C. Test d'hypothèse}

\medskip

On se propose de construire un test d'hypothèse pour contrôler la moyenne $\mu$ inconnue des diamètres, exprimés en millimètres, d'un lot important de pastilles de combustible destinées à remplir les gaines.

On note $D$ la variable aléatoire qui, à chaque pastille prélevée au hasard dans le lot, associe son diamètre.

On admet que la variable aléatoire $D$ suit la loi normale de moyenne inconnue $\mu$ et d'écart type 0,2.

On désigne par $\overline{D}$ la variable aléatoire qui, à chaque échantillon aléatoire de 300 pastilles prélevées dans le lot, associe la moyenne des diamètres de ces pastilles (le lot est assez important pour que l'on puisse assimiler ces prélèvements à des tirages avec remise).

L'hypothèse nulle est $H_0 :~\mu = 8,13$. Dans ce cas la livraison est dite conforme pour le diamètre.

L'hypothèse alternative est $H_1:~ \mu\not= 8,13$.

Le seuil de signification du test est fixé à 5 \%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sous l'hypothèse nulle $H_0$, on admet que la variable aléatoire $\overline{D}$ suit la loi normale de moyenne $8,13$ et d'écart type $0,012$.

On admet également que $P\left(8,106 \leqslant \overline{D} \leqslant 8,154\right) = 0,95$.

\textbf{Ce résultat n'a pas à être démontré.}

Énoncer la règle de décision permettant d'utiliser ce test.
\item On prélève un échantillon aléatoire de $300$ pastilles dans la livraison reçue et on observe que, pour cet échantillon, la moyenne des diamètres des pastilles est $\overline{d}=8,16$.
Peut-on, au seuil de 5\,\%, conclure que la livraison est conforme pour le diamètre ?
\end{enumerate}
\label{lastpage}
\end{document}