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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{mai 2010}}
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\thispagestyle{empty}
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\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2010~\decofourright\\Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 : étude d'une courbe plane\hfill 9 points}\\

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij. 
 
On considère la courbe $C$ définie par : $\left\{\begin{array}{l c l}
x(t)&=& t - \sqrt{2} \sin (t)\\
y(t)& = &\cos (t)
\end{array}\right., t~\text{décrivant}~\R$.

On note $M_{t}$ le point de coordonnées $\left(x(t)~;~y(t)\right)$ de $C$.
 
Le but de cet exercice est d'étudier quelques aspects de $C$ et d'en tracer l'allure.

\medskip
 
\textbf{A) Détermination de l'intervalle d'étude}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Montrer que le vecteur $\vect{M_{t}M_{t+2\pi}}$ est constant.
 
Comment déduit-on le point $M_{t+2\pi}$ du point $M_{t}$ ? Qu'en déduit-on pour la courbe $C$ ? 
\item Comparer les coordonnées de $M_{-t}$ et celles de $M_{t}$.
 
Qu'en déduit-on pour les points $M_{-t}$ et $M_{t}$, ainsi que pour la courbe $C$ ? 
\item Montrer que l'intervalle d'étude peut être restreint à $J = [0~;~\pi]$. 
\item On nomme $C_{J}$ la courbe décrite par $M_{t}$ lorsque $t$ décrit l'intervalle $J$.
 
Comment peut-on déduire $C$ à partir de $C_{J}$ ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{B) Étude de \boldmath$C_{J}$ \unboldmath~ avec \boldmath$J = [0~;~\pi]$\unboldmath~ et applications.}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item r

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $x'(t)$ et étudier le signe de $x'(t)$ sur $J$. 
		\item Calculer $y'(t)$ et étudier le signe de $y'(t)$ sur $J$. 
		\item Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $J$.
		 
On présentera les résultats de cette étude, en indiquant les valeurs exactes, dans le premier tableau figurant en \textbf{annexe à rendre avec la copie}.
 
On y portera aussi les valeurs de $x'(t)$ et $y'(t)$ aux bornes de l'intervalle.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Préciser les points de $C_{J}$ ayant des tangentes parallèles aux axes de coordonnées. 
		\item  Déterminer le point d'intersection de $C_{J}$ avec l'axe des abscisses.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs situé dans l'annexe. 
		\item On se propose de tracer la partie de la courbe C correspondant à la variation de t dans $[-\pi~;~\pi]$.
		 
Faire d'abord apparaitre $C_{J}$ sur la feuille de papier millimétré à rendre avec la copie dans le repère orthonormal \Oij. On prendra pour unité graphique 2~centimètres.
 
On fera apparaitre les tangentes aux points de paramètres $0,~\dfrac{\pi}{4}$ et $\pi$. 
		\item Sur la même figure, esquisser la partie de $C$ correspondant à la variation de $t$ dans $[-\pi~;~0]$.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : étude d'une route orthodromique\hfill 11 points}\\

\medskip
 
{\large \textbf{Préambule et notations}}

\medskip
 
Dans l'espace, rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk, la Terre est assimilée à une sphère $\Sigma$ de centre O et de rayon 1.

\medskip
 
L'équateur $\Gamma$ est le cercle intersection de la sphère $\Sigma$ et du plan $\Pi$ d'équation $z = 0$.

\medskip
 
Tout point de $\Sigma$ est alors repéré par le couple $(\theta~;~\varphi)$ où $\theta$ est sa longitude et $\varphi$ sa latitude (en radians).

\medskip
 
En navigation (terrestre ou aérienne) une route orthodromique désigne une trajectoire décrivant une partie d'un grand cercle du globe terrestre.

\medskip
 
Soient les points $N\left(\theta = 0~;~\varphi = \dfrac{\pi}{2}\right),~S\left(\theta = 0~;~\varphi = - \dfrac{\pi}{2}\right),~I(\theta = 0~;~)$ et $A\left(\theta = 0~;~\varphi = - \dfrac{\pi}{4}\right)$.

\medskip
 
Un navire partant de $A$ se dirige vers le \textbf{nord-ouest} en suivant une route orthodromique qui coupe l'équateur au point $B$ (voir la figure ci-dessous). 

On admet que la longitude de $B$ est négative et que l'angle $\widehat{A}$ du triangle sphérique $AIB$ mesure $\dfrac{\pi}{4}$
radians. 

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-5.2,-5)(5.2,5.2)
%\psgrid[subgriddiv=10]
\pscircle(0,0.2){4.05}
\psline{->}(-4,0.7)(5.2,-0.5)
\psline{->}(1.9,1.5)(-3.9,-2.7)
\psline{->}(0,-5)(0,5.2)
\psellipse[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0.2)(4.05,1.3)
\rput{-9.5}(0,0.2){\psellipse[linestyle=dotted,linewidth=1pt](0,0)(1.5,4.05)}
\uput[dl](-3.9,-2.7){$x$} \uput[dr](5.2,-0.5){$y$} \uput[u](0,5.2){$z$}
\uput[ul](-1.6,-1){$I$}\uput[ul](0,0.2){O}\uput[dr](0,4){$N$}\uput[r](0,-3.55){$S$}\uput[ur](-1,-3.6){$A$}\uput[u](-3.65,-0.35){$B$}\uput[d](2,-0.9){$\Gamma$}
\pscurve[linewidth=1pt](0.6,4.2)(0.3,4.15)(0,3.97)(-0.5,3.3)(-1,2.3)(-1.5,0.3)(-1.6,-0.6)(-1.6,-1.8)(-1.4,-2.9)(-1,-3.6)(-0.7,-3.78)
\pscurve[linewidth=1pt](-4.05,0.25)(-3.9,-0.15)(-3.8,-0.24)(-3.5,-0.44)(-3,-0.69)(-2.5,-0.82)(-2,-0.92)(-1.5,-1)(-1,-1.08)(-0.5,-1.1)(0,-1.1)(0.5,-1.09)(1,-1.06)(1.5,-1)(2,-0.92)(2.5,-0.81)(3,-0.68)(3.5,-0.45)(3.75,-0.3)(3.9,-0.17)(4.05,0.18)
\pscurve[linewidth=1pt,linestyle=dashed](-3.65,-0.35)(-3.6,-0.55)(-3,-1.98)(-2,-3)(-1.2,-3.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip


\textbf{Rappel}

\medskip
 
Pour un triangle sphérique $ABC$, avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique :

\begin{center}
$\begin{array}{l c l}
\cos \left(\widehat{A}\right) &=& - \cos\left(\widehat{B}\right) \cos \left(\widehat{C}\right) + \sin \left(\widehat{B}\right) \sin \left(\widehat{C}\right) \cos(a)\\ 
\cos (a) &=& \cos(b) \cos (c) + \sin (b) \sin(c) \cos \left(\widehat{A}\right)\\
\end{array}$ 
\end{center}

\bigskip

\textbf{A) Résolution du triangle sphérique AIB et position du point B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item On rappelle que l'angle $\widehat{A}$ vaut $\dfrac{\pi}{4}$. Justifier que $\widehat{I} = \dfrac{\pi}{2}$ et donner le côté $b = \widearc{AI}$. 
\item Calculer une mesure en radians de l'angle $\widehat{B}$. 
\item Montrer que $\cos (a) = \sqrt{\dfrac{2}{3}}$. 
\item Montrer que les coordonnées cartésiennes de $B$ sont : $\left(\sqrt{\dfrac{2}{3}}~;~ - \dfrac{1}{\sqrt{3}}~;~0\right)$.
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{B) Projection stéréographique de pôle sud}

\medskip

On note $\mathcal{T}$ l'inversion de pôle $S$ et de puissance 2.
 
On rappelle que pour tout point $M$ différent de $S$ on a $M' = \mathcal{T}(M)$ si et seulement si $\vect{SM'} = \dfrac{2}{SM^2} \vect{SM}$.

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Préliminaires}
 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les coordonnées cartésiennes de $A$. 
		\item Déterminer l'image $N'$ du point $N$. 
		\item Quelle est l'image de la sphère $\Sigma$ privée du point $S$ par l'inversion $\mathcal{T}$ ? 
		\item Montrer que tout point du cercle équatorial $\Gamma$ est invariant par $\mathcal{T}$.
	\end{enumerate} 
\item Justifier le fait que $A'$ a pour coordonnées cartésiennes $(1 + \sqrt{2}~;~0~;~0)$. 
\item Soit $\Gamma_{1}$ le grand cercle passant par $I$ et $A$. Quelle est l'image $\Gamma'_{1}$ de $\Gamma_{1}$ par $\mathcal{T}$ ? 
\item Soit $\Gamma_{2}$ le grand cercle passant par $A$ et $B$ et $\Gamma'_{2}$ son image par $\mathcal{T}$. Justifier que $\Gamma'_{2}$ est un cercle. 
\item Représenter, sur la copie, dans le plan repéré par \Oij{} les cercles $\Gamma$ et $\Gamma'_{2}$~; ainsi que les inverses par $\mathcal{T}$ des côtés du triangle sphérique $AIB$.
 
\emph{On pourra éventuellement utiliser le point $B_{1}$ symétrique de $B$ par rapport au point} O. 
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{ \Large -- ANNEXE à rendre avec la copie --}
\end{center}

\bigskip
 
\textbf{Exercice 1 :}

\medskip
 
\textbf{Tableau de variations du B- 1. c.}

\medskip

\psset{unit=1cm}

\begin{pspicture}(12,9)
\psframe(12,9)
\psline(0,1)(12,1)\psline(0,4)(12,4)\psline(0,7)(12,7)\psline(0,8)(12,8)
\psline(2,0)(2,9)
\rput(1,0.5){$y'(t)$} \rput(1,2.5){$y(t)$}\rput(1,5.5){$x(t)$}\rput(1,7.5){$x'(t)$}\rput(1,8.5){$t$}\rput(2.2,8.5){$0$} \rput(11.7,8.5){$\pi$}
\end{pspicture} 

\vspace{2cm}

\textbf{Tableau de valeurs du B-3. a.  (valeurs arrondies à \boldmath $10^{-2}$ \unboldmath près).} 

\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{2.25}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
$t$ &$0$&$\dfrac{\pi}{4}$&$\dfrac{\pi}{3}$&$\dfrac{\pi}{2}$&$\pi$\\ \hline
$x(t)$&&&&&\\ \hline
$y(t)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{document}