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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
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\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2002 - Géomètre topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

Dans tout le problème, le plan est rapporté â un repère orthonormal \Oij{} (unité 5~cm). On considère les droites ($\Delta$) et ($\Delta'$) d'équations respectives $x = 1$ et $x = -1$.

Une droite variable ($D$), passant par O et de coefficient directeur $t,~ (t \in  \R)$, coupe ($\Delta$) en P.
 
La parallèle à $\left(\text{O}~;~ \vect{\imath}\right)$ passant par P coupe ($\Delta '$) en P$'$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Faire une figure qui sera complétée dans les questions suivantes.
\item  Soit M$(x~;~y)$ le projeté orthogonal de P$'$ sur la droite ($D$).
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{OP}}$  et $\vect{\text{P}'\text{M}}$.
		\item  En déduire que les coordonnées de M sont données par : $x = \dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$ et $y = t\dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$.
 	\end{enumerate}
\item On désigne par ($\mathcal{C}$) la courbe définie paramétriquement par : $x(t) = \dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$ et $y(t) = 	t\dfrac{t^2 - 1}{t^2+1}$.
	\begin{enumerate}
		\item En étudiant la parité des fonctions $x$ et $y$, donner un intervalle d'étude suffisant pour l'étude des variations de $x$ et $y$ et pour le tracé de ($\mathcal{C}$).
		\item Vérifier que :
		\[x'(t) = \dfrac{4t}{(t^2+1)^2}~~\text{et}~~y'(t) = \dfrac{\left(t^2   + 2 - \sqrt{5} \right)\left(t^2   + 2 + \sqrt{5} \right)}{\left(t^2 + 1 \right)^2}.\]
		\item Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$.
		\item Déterminer les points d'intersection de ($\mathcal{C}$) avec la droite $\left(\text{O}~;~\vect{\imath}\right)$ et les équations des tangentes à ($\mathcal{C}$) en ces points.
	\end{enumerate}
\item Tracer la courbe ($\mathcal{C}$) sur la figure du 1.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal de sens direct \Oijk.

Sur la sphère ($\Sigma$) de centre O et de rayon 1, on considère les points :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
N de coordonnées cartésiennes (0,~0,~1)& S de coordonnées cartésiennes $(0,~0,~-1)$\\
A $\left\{\begin{array}{l l l}
\text{longitude}\:	& 90 \degres	& \text{Est} \\
\text{latitude}\:	& 30 \degres & \text{Sud}\\
\end{array}\right.$&B $\left\{\begin{array}{l l l}
\text{longitude}\:	& 0 \degres	& \\
\text{latitude}\:	& 0 \degres	& \\
\end{array}\right.$\\
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Rappels :} dans un triangle sphérique (ABC), avec les notations usuelles, on a les relations :

\[\cos a = \cos b \cos c \sin b \sin c \cos \text{A}~~ \text{et}~~	\dfrac{\sin \text{A}}{\sin a} = \dfrac{\sin \text{B}}{\sin b} = \dfrac{\sin \text{C}}{\sin c}.\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Faire une figure : placer les points N, S, A et B.
		\item Justifier que les coordonnées cartésiennes des points A et B sont respectivement $\left(0~;~\dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~- \dfrac{1}{2}\right)$ et (1~;~0~;~0).
	\end{enumerate}
\item Déterminer les éléments du triangle sphérique (SAS).
\item Soit $T$ l'inversion de pôle N et de puissance 4.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de la sphère ($\Sigma$) par l'inversion $T$ ?
		\item Soient A$'$ et B$'$ les images respectives de A et B par l'inversion $T$.
		
En utilisant la relation $\vect{\text{NM}'}= \dfrac{4}{\text{NM}^2}\vect{\text{NM}}$, où M$'$ désigne l'image par $T$ d'un point M quelconque, calculer les coordonnées cartésiennes de A$'$ et B$'$. Placer les points A$'$ et B$'$ sur la figure.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item En déduire la distance A$'$S$'$,
		\item Calculer la différence $d$ entre la distance A$'$B$'$ et la longueur du petit arc de grand cercle d'extrémités A et B.
	\end{enumerate}
\item La Terre est assimilée à la sphère ($\Sigma$), dont on exprime maintenant le rayon en kilomètres, en prenant R = \nombre{6380}~km.

Exprimer la différence $d$ en kilomètres, arrondie au km près.
\end{enumerate}
\end{document}