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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{mai 2001}}
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\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\session 2001 - Géomètre topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est rapporté à un repère orthonormal \Oij.

On considère la parabole $\mathcal{P}$, représentative de la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = \dfrac{1}{2}x^2.\]

On oriente $\mathcal{P}$ dans le sens des abscisses croissantes. En chaque point $M$ de $\mathcal{P}$ on désigne par $\vect{T}$ le vecteur unitaire tangent et par $\vect{N}$ le vecteur unitaire normal.

On rappelle que la base $\left(\vect{T},~\vect{N}\right)$ est directe et que le rayon de courbure algébrique $R$, au point de $\mathcal{P}$ d'abscisse $x$, est donné par la formule

\[R = \dfrac{\left(1 + y'^2 \right)^{\frac{3}{2}}}{y''},~ \text{avec}~ y' = f'(x)~ \text{et}~ y"= f''(x).\]

\begin{enumerate}
\item Tracer $\mathcal{P}$, pour les abscisses appartenant à l'intervalle $[-4~;~ 4]$, en prenant 2~cm pour unité graphique.
\item Étudier le sens de variation de la fonction $R$.

	En déduire le minimum du rayon de courbure et tracer le cercle de courbure correspondant sur le graphique précédent.

\item	On se place désormais au point A, d'abscisse 1, de la parabole $\mathcal{P}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer une équation de la tangente et une équation de la normale à $\mathcal{P}$ en ce point.
		\item  Montrer que le vecteur $\vect{U}$, de coordonnées $\left(\dfrac{- \sqrt{2}}{2}~;~\dfrac{- \sqrt{2}}{2} \right)$, est unitaire et qu'il est directeur de la  normale à $\mathcal{P}$ au point A,
		\item  On admet que $\vect{N}$  est égal à $\vect{U}$.\\
Montrer que les coordonnées du centre de courbure $\Omega$ sont $\left(-1~;~\dfrac{5}{2}\right)$.
		\item  Tracer la tangente et la normale à $\mathcal{P}$ au point A.\\
Représenter les vecteurs $\vect{T}$ et $\vect{N}$ au point A.
		\item  Tracer le cercle de courbure $\mathcal{C}$ au point A et montrer qu'une équation cartésienne de $\mathcal{C}$ est
$x^2 +  y^2  + 2x - 5y - \dfrac{3}{4} = 0$.
	\end{enumerate}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les abscisses des points d'intersection de $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}$ sont solutions de l'équation

\[x^4 - 6x^2 + 8x - 3 =   0.\]

		\item Vérifier que $x^4 - 6x^2 + 8x - 3 = (x + 3)(x - 1 )^3$.\\
En déduire que $\mathcal{P}$ et $\mathcal{C}$ n'ont qu'un seul autre point d'intersection que A.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal \Oijk. Le schéma donné ci-dessous met en perspective quelques éléments de l'exercice, sans prétendre en donner une représentation exacte).

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.6666cm}
\begin{pspicture}(18,9.5)
%\psgrid
\psline{->}(2.9,3.8)(0.2,0.3)%(Ox)
\psline{->}(2.9,3.8)(17.8,3.8)%(Oy)
\psline{->}(2.9,3.8)(2.9,9.4)%(Oz)
\psline(2.9,3.8)(17.5,9.1)
\psline(2.9,3.8)(17.9,1.3)
\psline(2.9,3.8)(15.2,0)
\pscircle(5.4,4.7){3.95}
\psellipse(5.4,3.35)(3.7,1.1)
\psline(10.3,9.4)(14.4,0)
\psline(14,0)(17.9,3.6)
\uput[ul](2.9,3.8){O}\uput[r](0.2,0.3){$x$}\uput[u](17.8,3.8){$y$}
\uput[r](2.9,9.4){$z$}\uput[r](10.8,8.4){$D$}\uput[u](5.4,4.7){$\Omega$}\qdisk(5.4,3.35){1.5pt}\uput[d](5,2.3){$E$}\qdisk(7.8,5.6){1.5pt} \uput[u](7.8,5.6){$A$} \uput[r](17,2.8){$\Delta$} \uput[ur](7,8.3){$S$} \qdisk(5.4,4.7){1.5pt}
\end{pspicture}
\end{center}

$S$ est la sphère d'équation $x^2 +  y^2 + z^2 - 4x- 4y- 2z = 0$.

$T$ est la transformation qui, à chaque point $M$ de l'espace, différent de O, associe le point $M'$ tel que : $\vect{\text{O}M'} = \dfrac{54}{\text{O}M^2} \vect{\text{O}M}$.

\begin{enumerate}
\item  Déterminer le centre $\Omega$ et le rayon $r$ de $S$.

\item  
	\begin{enumerate}
		\item En calculant le produit scalaire $\vect{\text{O}M} \cdot \vect{\text{O}M'}$, montrer que $T$ est une inversion, dont on précisera le pôle et le rapport.
		\item 	Le point A est le symétrique de O par rapport à $\Omega$.
		
Calculer les coordonnées de A$' =  T$(A).

Déterminer l'inverse, P, de la sphère $S$ privée du point O, par $T$.

Montrer qu'une équation de $P$ est $2x + 2y + z - 27 = 0$.
	\end{enumerate}
	\item Soit $D$ la droite dont une représentation paramétrique est :

\[x = 2 - t ~;\quad  y = 14 + 2t~; \quad  z = 5 - 2t \quad ; ~~t \in \R.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la droite $D$ est incluse dans $P$ et que le point A$'$ appartient à $D$.
		\item Déterminer l'inverse $C$ de la droite $D$, par $T$.
		\item Pour tout point $M$ de $D$, de coordonnées $(x~;~y~;~ z)$, on note $(x'~;~y'~;~z')$ les coordonnées de son	inverse $M'$ par $T$.
Montrer qu'une représentation paramétrique de $C$ est :

\[x' = \dfrac{-6t+12}{t^2 + 8t + 25}~;\quad 	y' = \dfrac{12t + 84}{t^2 + 8t + 25}~;\quad z' = \dfrac{- 12t - 30}{t^2 + 8t + 25}~;~t \in \R.\]
		\item  Déterminer les coordonnées du point $I$ d'intersection de $C$ avec le plan \Oij.
	\end{enumerate}

\item Le plan \Oij{} coupe le plan $P$ suivant la droite $\Delta$ et coupe la sphère $S$ suivant le cercle $E$.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'inverse de $\Delta$ par $T$.
		\item Montrer que le vecteur de coordonnées $(-1~;~1~;~0)$ est un vecteur directeur de $\Delta$.
		\item  En déduire l'angle géométrique $\theta$, appartenant à $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2} \right]$, des deux courbes $C$ et $E$.
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}