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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{juin 2008}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2008~\decofourright\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 11 points}

\medskip

On rappelle la formule fondamentale de trigonométrie sphérique :

\[ \cos a =  \cos b \cdot \cos c + \sin b \cdot \sin c \cdot \cos \widehat{A}\]

L'espace est muni d'un repère orthonormal direct \Oijk.

Sur la sphère ($\Sigma$) de centre O et de rayon 1, on considère les points N, S, A et B de coordonnées :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{5}{>{\centering \arraybackslash}X}}
N $\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 0~\degres\\
latitude 90\noindent \degres Nord\\
\end{tabular}\right.$&S $\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 0\noindent \degres\\
latitude 90\noindent \degres Sud\\
\end{tabular}\right.$&
A $\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 90\noindent \degres Est\\
latitude 0\noindent \degres\\
\end{tabular}\right.$&B
$\left\{\begin{tabular}{l}
longitude 45\noindent \degres Est\\
latitude 30\noindent \degres Nord\\
\end{tabular}\right.$\\
\end{tabularx}
\medskip

\begin{enumerate}
\item  Placer ces points sur la figure donnée en annexe.
\item  Déterminer, par lecture directe ou par calcul, les longueurs des côtés du triangle sphérique ABS.
\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes de N, S et A.

Montrer que B$\left(\dfrac{\sqrt{6}}{4}~;~\dfrac{\sqrt{6}}{4}~;~\dfrac{1}{2}  \right)$.
\item  \emph{On rappelle que si le point $M'$ est l'image du point $M$ dans une inversion de centre $\Omega$ et de rapport $k$, on a} $\vect{\Omega M'} = \dfrac{k}{\Omega M^2}\vect{\Omega M}$.\\
 On considère l'inversion $I$ de pôle N et de puissance 4. Quelle est l'image ($P$) de la sphère ($\Sigma$) privée de N par l'inversion $I$ ? Justifier. \\
 Préciser une équation de ($P$).
\item  Soit E le point de coordonnées E$\left(\sqrt{6}~;~\sqrt{6}~;~-1\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item  Placer E sur la figure.
		\item  Calculer le produit scalaire $\vect{\text{NB}} \cdot  ~ \vect{\text{NE}}$.
		\item  Montrer que E est l'image de B par l'inversion $I$.
 	\end{enumerate}
\item  A, B et S définissent un cercle ($\mathcal{C}$) dans l'espace.  Soit A$' = I$(A).
	\begin{enumerate}
		\item  Placer A$'$. Par lecture sur la figure donner les coordonnées du point A$'$.
		\item  Déterminer les coordonnées du vecteur $\vect{n}= \vect{\text{SA}} \wedge \vect{\text{SB}}$.
		
En déduire une équation du plan (ABS).
		\item  Montrer que tous les points de ($\mathcal{C}$) sont sur ($\Sigma$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

Le but de cet exercice est l'étude de raccordements routiers de deux sections rectilignes par une section circulaire ou du quatrième degré. 

Dans le plan muni d'un repère orthonormal \Oij{} la figure en fin d'énoncé schématise les différents raccordements de la section rectiligne [AB] avec la section rectiligne [EF].

\begin{itemize}
\item (O$y$) est axe de symétrie de la figure.
\item  $\mathcal{C}_{1}$ représente le raccordement circulaire. 
\item  $\mathcal{C}_{2}$ représente le raccordement du quatrième degré.
\item  Les points A et B ont pour coordonnées A$\left(- \dfrac{3}{2}~; ~\dfrac{3}{2}\right)$ et B$(-1~;~ 1)$.
\end{itemize}
  
\bigskip
  
\textbf{Partie A Sections rectilignes}

\medskip

Les segments [AR] et [FE] sont donc symétriques par rapport à (O$y$).

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les coordonnées des points E et F.
\item  Calculer les coordonnées des vecteurs $\vect{\text{AB}}$	et $\vect{\text{EF}}$. Montrer qu'ils sont orthogonaux.

\item  Déterminer l'équation réduite de la droite (AB). En déduire celle de (EF).
\end{enumerate}
 
\bigskip
  
\textbf{Partie B Raccordement circulaire} \boldmath$\mathcal{C}_{1}$\unboldmath

\medskip

$\mathcal{C}_{1}$ passe par les points B et E et la droite (AB) est tangente à l'arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que le centre $\Omega_{1}$ de l'arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$ est un point de l'axe (O$y$).
\item  Calculer les coordonnées de $\Omega_{1}$.
\item  Vérifier qu'une équation cartésienne du cercle support de $\mathcal{C}_{1}$ est $x^2 + (y - 2)^2 = 2$.
\item  La courbure en un point quelconque du segment [AB] est nulle.\\
Déterminer la courbure en un point quelconque de l'arc de cercle $\mathcal{C}_{1}$.

On rappelle que la courbure est l'inverse du rayon de courbure
\end{enumerate}
 
\bigskip
  
\textbf{Partie C Raccordement du quatrième degré}

\medskip

\emph{Le raccordement circulaire précédent créerait une rupture brutale de courbure en B comme en E. Le but est donc de créer un raccordement ne présentant pas cet inconvénient.}

La courbe $\mathcal{C}_{2}$ est définie par l'équation $y = f(x)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Justifier que $f(1) = 1$ et $f'(1) = 1$.
\item  On rappelle que la courbure en un point d'abscisse $x_{0}$ d'une courbe définie par l'équation $y = f(x)$ est : $\dfrac{1}{R}=
\dfrac{f''\left(x_{0}\right)}{\left[1 + \left(f'\left(x_{0}\right)\right)^2\right]^2}$.

Pour quelle raison veut-on que $f"(1) = 0$ ?
\item  On admet, à partir de maintenant, que $f (x) = ax^4 + bx^2 + c$.

Montrer que $f(-x) = f(x)$. Interpréter graphiquement ce résultat.
\item  Exprimer $f(1),~ f(1)$ et $f'(1)$ en fonction des coefficients $a,~ b$ et $c$.
\item  Résoudre le système  : $\left\{\begin{array}{l cl}
a+b+c &=& 1\\
4a + 2b& =& 1\\
12a + 2b &=& 0\\
\end{array}\right.$
\item  Montrer que $f(x) = \dfrac{- x^4 + 6x^2 + 3}{8}$.\\
Calculer la courbure au point K de la courbe $\mathcal{C}_{2}$ d'abscisse $0$.\\
En déduire le rayon de courbure en K puis les coordonnées du centre de courbure $\Omega_{2}$.
\end{enumerate}
 
\bigskip
 
\begin{center}
\psset{unit=2.9cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.2)(2,2.2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-2,-0.2)(2,2.2)
\psarc(0,2){1.414}{-135}{-45}
\psline(-1.5,1.5)(-1,1)\psline(1.5,1.5)(1,1)
\psplot[linecolor=blue,plotpoints=1500,linewidth=1.25pt]{-1}{1}{x dup mul 6 mul 3 add x 4 exp sub 8 div}
\uput[u](2,0){$x$} \uput[r](0,2.2){$y$}
\uput[u](-1.5,1.5){A} \uput[ur](-1,1){B} 
\uput[ul](1,1){E} \uput[u](1.5,1.5){F} 
\end{pspicture}
\end{center}

\newpage


\begin{center}
\textbf{- ANNEXE à  rendre avec la copie -}
\end{center}

Figure de l'exercice 1 :

\bigskip

\begin{center}
\psset{unit=0.72cm}
\begin{pspicture}(-10,-5.3)(10,5.3)
\psline{->}(0,0)(4,0)
\psline{->}(0,0)(0,4)
\psline{->}(0,0)(-1,-1)
\pscircle(0,0){4}
\uput[dl](-0.5,-0.5){\footnotesize $\vect{\imath}$}
\uput[90](2,0){\footnotesize $\vect{\jmath}$}
\uput[180](0,2){\footnotesize $\vect{k}$}
\SpecialCoor
\uput[135](4;135){ $(\Sigma)$}
\uput[135](0,0){\footnotesize O}
\psellipse(0,0)(4,1)
\psgrid[griddots=1, subgriddiv=0, gridlabels=0pt](-11,-8)(11,5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}