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%Tapuscrit : Denis Vergès 
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2007}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Géomètre topographe session 2007}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
$(\Sigma)$ est la sphère de centre O, de rayon 2.
Tout point de $(\Sigma)$ est repéré par sa longitude $\theta$ et sa latitude $\varphi$ (en radians).

\begin{center}
\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture}(-3,-3.2)(3,3.5)
\pscircle{2}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(0,3)(0,0)(3,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(3;-140)
\uput[-140](3;-140){$x$}
\uput[0](3,0){$y$}
\uput[90](0,3){$z$}
\uput[135](0,0){$O$}
\uput[-90](1;-91.7){$\theta$}
\uput[10](1;10){$\varphi$}
\uput[90]{30}(0.433,0.5){$r$}
\uput[30](0.866,1){$M$}
\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-3.14}{0}{2*cos(t)|sin(t)}
\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-2.1}{-1.1}{2*cos(t)|sin(t)}
\parametricplot[linestyle=dotted,algebraic]{-1.57}{1.57}{cos(t)|2*sin(t)}
\parametricplot[algebraic,arrows=->]{-0.5}{0.5}{cos(t)|2*sin(t)}
\psline[linestyle=dotted](0.866,1)(0,0)(0.9,-0.9)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Soit $M$ un point de $(\Sigma)$. Écrire les coordonnées cartésiennes de $M$ en fonction de $\theta$ et de $\varphi$.
\item Faire une figure que l'on complétera au fur et à mesure des questions.
\item Donner une équation cartésienne de la sphère $(\Sigma)$.

\item On considère les points $A$ et $B$ dont on donne les coordonnées cartésiennes :

$A\left(\sqrt{2}~;~0~;~\sqrt{2}\right)$
et $B(0~;~2~;~0)$.

Montrer que $A$ et $B$ sont deux points de $(\Sigma)$.
\item  On considère le point $C$ de $(\Sigma)$ défini par $\theta=\dfrac{\pi}{4}$ et $\varphi=0$.
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées cartésiennes de $C$.
		\item Calculer les produits scalaires
$\vect{OB} \cdot \vect{OC}$,~ $\vect{OA} \cdot \vect{OC}$, ~ $\vect{OA} \cdot \vect{OB}$.

En déduire les valeurs exactes de $\cos a$, $\cos b$ et $\cos c$.

$a=\text{mes }\widehat{BOC}$,\qquad
$b=\text{mes }\widehat{AOC}$,\qquad
$c=\text{mes }\widehat{AOB}$,\qquad\\
puis celles de $\sin a$, $\sin b$ et $\sin c$.
		\item  Déterminer les dernières caractéristiques du triangle sphérique $ABC$.
		\item  Calculer, à $10^{-3}$ près, l'aire du triangle sphérique $ABC$.
	\end{enumerate}
\item Soit $N$ le pôle nord de la sphère $(\Sigma)$.
Soit $I$ l'inversion de pôle $N$ et de puissance 8.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est l'image de $(\Sigma)$, privée du point $N$, par l'inversion $I$ ? En donner une équation.
		\item Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $A'$, $B'$ et $C'$, images respectives des points $A$, $B$ et $C$ par l'inversion $I$.
		\item Calculer les distances $A'B'$, $A'C'$ et $B'C'$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 9 points}

\medskip

La représentation paramétrique d'une courbe $C$ est donnée par :

\[
\left\{
\begin{array}{l c l}
x(t)&=&\sin (t) \\ 
y(t)&=&\sin (2t)
\end{array}
\right.,\quad  t \in [-\pi~;~\pi]\]

\begin{enumerate}
\item  Étudier la parité des fonctions $x$ et $y$ ; en déduire une symétrie de la courbe. À quel intervalle peut-on restreindre l'étude ?
\item  Calculer $x(\pi - t)$ et $y(\pi - t)$ ; en déduire une nouvelle symétrie de la courbe.
\item  Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$ sur $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2}\right]$ et dresser le tableau des variations.
\item  On note $A,~B,~C,~D$ et $E$ les points de $C$ de paramètres respectifs $0, ~\dfrac{\pi}{6},~\dfrac{\pi}{4}, ~\dfrac{\pi}{3}$ et $\dfrac{\pi}{2}$.

Recopier et compléter le tableau suivant :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Point} & $A$ & $B$ & $C$ & $D$ & $E$\\  \hline
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}$t$& $0$ & $\dfrac{\pi}{6}$ & $\dfrac{\pi}{4}$ & $\dfrac{\pi}{3}$ & $\dfrac{\pi}{2}$\\ \hline
 $x(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
 $y(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
 $x'(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
 $y'(t)$ &  &  &  &  &  \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Dans un repère orthonormal (unité graphique : 4~cm), représenter les 5 points $A$, $B$, $C$, $D$ et $E$ avec les tangentes aux points  $A$, $C$, $E$ puis tracer la courbe $C$.
\item  En utilisant le fait que, pour tout réel $t$, $\sin (2t) = 2 \sin (t)\cos (t)$, résoudre l'équation $\sin(t)=\sin (2t)$.

En déduire les coordonnées des points de la courbe situés sur la droite d'équation $y=x$.
\end{enumerate}
\end{document}