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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2006}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
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\begin{center}\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\Géomètre topographe session 2006}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij d'unité 1 cm.

Soit $(C)$ la courbe d'équation polaire :

\[r(\theta) = \dfrac{6}{2+\cos\theta}
\quad (\theta \in \R).\]

\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tracer la courbe $(C)$, il suffit de la tracer sur $[0~;~\pi]$.
\item Soit $M$ un point de coordonnées polaires $(r\,;\,\theta)$.
Donner, en fonction de $r$ et de $\theta$, ses coordonnées cartésiennes 
\item Montrer que si $M$, de coordonnées cartésiennes $(x\,,\,y)$, appartient à $(C)$, alors :

$\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$.

\emph{On admettra la réciproque.}
\item Reconnaître la nature de la conique d'équation $\dfrac{(x+2)^2}{16}+\dfrac{y^2}{12}=1$.
Préciser l'axe focal, les foyers et les sommets de cette conique.
\item Tracer soigneusement la courbe $(C)$ pour $\theta \in  [0~;~\pi]$.
Expliquer comment obtenir le tracé de $(C)$ pour $\theta \in \R$.
Tracer $(C)$.
\item Soit $A$ le point de $(C)$ défini par $\theta=0$. Montrer que le rayon de courbure au point $A$ vaut~3. On rappelle que
$R = \dfrac{(r^2+r'^2)^{3/2}}{r^2+2r'^2-rr''}$.
\item Déterminer une équation cartésienne du cercle de courbure au point $A$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.

Sur la sphère $(S)$ de centre $O$ et de rayon 1, on considère les points $A$, $B$, $C$ de coordonnées :

$A\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 0~\degres}\\
\mbox{latitude 45~\degres Nord}\end{array}\right.$
\hfill
$B\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 90~\degres Est}\\
\mbox{latitude 0~\degres}\end{array}\right.$
\hfill
$C\ \left\{\begin{array}{l}\mbox{longitude 90~\degres Est}\\
\mbox{latitude 60~\degres Nord}\end{array}\right.$

\medskip

\begin{enumerate}
\item Faire une figure.
\item Déterminer les coordonnées cartésiennes des  points $A$, $B$ et $C$.
\item Calculer les longueurs des côtés du triangle sphérique $(ABC)$.
\item Soit $I$ l'inversion de pôle $B$ et de puissance 2.
	\begin{enumerate}
		\item  Déterminer l'image de la sphère, privée du point $B$, par l'inversion $I$.
		\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes des points $A'$ et $C'$, images respectives des points $A$ et $C$ par l'inversion $I$.
	\end{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne du plan $(OAB)$ est $z=x$.
\item On désigne par $(\Gamma)$ la courbe définie paramétriquement par :

\qquad\qquad
\[
\left\{
\begin{array}{l}
x(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t
\\
y(t) = \sin t
\\
z(t) = \dfrac{1}{\sqrt{2}}\cos t
\end{array}
\right.\]

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $(\Gamma)$ est contenue dans le plan $(OAB)$.
		\item Montrer que $(\Gamma)$ est contenue dans la sphère $(S)$.
		\item En déduire que, si $M$ est un point appartenant à $(\Gamma)$, alors il appartient à un cercle $(\cal C)$ que l'on caractérisera.
		\item On admet que $(\Gamma)$ et $(\cal C)$ sont confondus. Déterminer l'image de la courbe $(\Gamma)$ privée du point $B$ par l'inversion $I$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}