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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
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\begin{document}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur }
\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2005}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}
\begin{center} \Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ Géomètre topographe session 2005}  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 8 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij{} d'unité graphique 2~cm. On considère la courbe $\mathcal{C}$ définie par son équation polaire :

\[r = f(\theta) = 2 \cos \theta - \cos ^2 \theta \quad  (\theta \in \R).\]

\begin{enumerate}
\item  Montrer que l'on peut restreindre l'étude des variations de la fonction $f$ à l'intervalle $[0~;~\pi]$.
\item  Étudier les variations de la fonction $f$ sur $[0~;~\pi]$ et drosser son tableau de variations.
\item  On note A, B, C, D et E les points de la courbe $\mathcal{C}$ correspondant aux valeurs suivantes de $\theta ~~ :~~ 0, \dfrac{\pi}{4},~\dfrac{\pi}{2},~\dfrac{3\pi}{4}$  et $\pi$.

Recopier et compléter le tableau suivant (en indiquant les valeurs exactes) :
 
\medskip

\renewcommand{\arraystretch}{1.5} 
\begin{center}\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Point&	A& 	B& 	C&D& 	E\\ \hline
\rule[-3mm]{0mm}{8mm}$\theta$&$0$&$\dfrac{\pi}{4}$	&$\dfrac{\pi}{2}$& $\dfrac{3\pi}{4}$&$\pi$\\ \hline
$r = f(\theta)$&&&&&\\ \hline
$r' = f'(\theta)$&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip
Donner un vecteur directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ aux points A, C et E.
\item  Représenter les cinq points A, B, C, D et E avec leurs tangentes respectives puis tracer la courbe $\mathcal{C}$.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 12 points}

\medskip

\textbf{Partie A : ÉTUDE D'UNE INVERSION}

\medskip

On se place dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk{} et on considère l'inversion $I$ de pôle $\Omega \left(\dfrac{3}{\sqrt{2}}~;~\dfrac{3}{\sqrt{2}}~;~ 0\right)$ et de puissance 3. L'unité de longueur est le cm.

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Donner une équation cartésienne de la sphère $\mathcal{S}$ de centre O et de rayon 3.
\item  Déterminer la nature de l'image $\mathcal{P}$ de la sphère $\mathcal{S}$ par l'inversion $I$.
\item  Donner une équation cartésienne de $\mathcal{P}$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B :  TRIGONOMÉTRIE SPHÉRIQUE}

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,7)
%\psgrid
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2.8,2.7)(0,0)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2.8,2.7)(7,2.7)
\psline[linewidth=1.5pt]{->}(2.8,2.7)(2.8,6.8)
\psline[linewidth=3pt]{->}(2.8,2.7)(2.2,2.1)\uput[d](2.3,2.3){$\vect{\imath}$}
\psline[linewidth=3pt]{->}(2.8,2.7)(3.8,2.7)\uput[d](3.6,2.7){$\vect{\jmath}$}
\psline[linewidth=3pt]{->}(2.8,2.7)(2.8,3.7)\uput[l](2.8,3.7){$\vect{k}$}
\psarc{->}(2.8,2.7){4mm}{220}{350}
\psarc{->}(2.8,2.7){6mm}{350}{48}
\psellipse(2.8,2.7)(2.6,0.9)
\pscircle(2.8,2.7){2.6cm}
\pscurve(1.9,1.8)(2,3.6)(2.4,5)(2.8,5.3)
\pscurve(2.8,5.3)(4,4.68)(4.6,3)(4.62,2.3)
\psline(2.8,2.7)(4.62,2.3)
\psline(2.8,2.7)(4.3,4.15)
\uput[dl](0,0){$x$}  \uput[r](7,2.7){$y$}  \uput[u](2.8,6.8){$z$} 
\uput[u](3.6,3.5){$r$} \uput[d](2.8,2.4){$\theta$}
\uput[r](3.3,3){$\varphi$}\uput[ul](2.8,2.7){O}\uput[ur](4.3,4.15){$M$}\uput[d](4.62,2.3){$m$}
\end{pspicture}
\end{center}

On rappelle que les coordonnées sphériques d'un point $M$ appartenant à la sphère de rayon $r$ et n'appartenant pas à l'axe $\left(\text{O},~ \vect{k}\right)$ sont données sous la forme d'un triplet $(r,~ \theta,~ \varphi)$ où :\\

\[r = \text{O}M \qquad 	\theta  = \widehat{\left(\vect{\imath},~\vect{\text{O}m}\right)} \qquad \varphi = \widehat{\left(\vect{\text{O}m},~\vect{\text{O}M}\right)}.\]

On considère les points A, B, C de l'espace dont les coordonnées sphériques sont : 

\[\text{A}\left(3~;~0~;~\dfrac{\pi}{4}\right) \qquad 	\text{B}\left(3~;~\dfrac{\pi}{2}~;~0\right) \qquad	\text{C}(3~;~0~;~0)\]

\begin{enumerate}
\item  Déterminer les caractéristiques du triangle sphérique ABC.
\item  Calculer l'aire du triangle sphérique ABC.
\item  Déterminer les coordonnées cartésiennes de A, B et C.
\item  On note A$'$, B$'$ et C$'$ les images respectives des points  A, B et C par l'inversion $I$.
	\begin{enumerate}
		\item  Calculer les coordonnées cartésiennes de A$'$.
		\item  On donne \begin{tabular}{l l l}
		$x_{\text{B}'}	= \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}$&	et &$y_{\text{B}'} = \dfrac{1 + 3\sqrt{2}}{2}$ \\
		$x_{\text{C}'}	= \dfrac{1 + 3\sqrt{2}}{2}$&	et &$y_{\text{C}'} = \sqrt{2} - \dfrac{1}{2}$ \\
		\end{tabular}
		
Indiquer les cotes des points B$'$ et C$'$ en justifiant la réponse.
	\end{enumerate}
\item  Représenter graphiquement la sphère $\mathcal{S}$ et les points A, B, C, $\Omega$, A$'$, B$'$ et C$'$.
\end{enumerate}
\end{document}