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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{mai 2012}}
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\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2012~\decofourright\\Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 : Étude d'une courbe paramétrée \hfill 10 points}

\medskip
 
Le plan est muni d'un repère orthonormal direct \Oij.
 
On considère la courbe $\Gamma$ dont chaque point $M_{t}$ a pour coordonnées : 

\[t \in \R \quad \left\{\begin{array}{l c l}
x(t) &=& 2(1 + \cos t)\\ 
y(t) &=& (1 + \cos t) \sin t
\end{array}\right.\]
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Réduction de l'intervalle d'étude} 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la périodicité des fonctions $x$ et $y$. 
		\item Étudier la parité des fonctions $x$ et $y$. Quelle propriété de la courbe $\Gamma$ peut-on en déduire ? 
		\item Montrer que l'intervalle d'étude peut être réduit à l'intervalle $J = [0~;~\pi]$.
	\end{enumerate}		
\item \textbf{Étude de la courbe} \boldmath$\Gamma$\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que: 

\[t \in \R, \quad  x^{\prime}(t) = -2 \sin t\quad  
\text{et} \quad  y^{\prime}(t) = (2 \cos t - 1)(1 + \cos t)\]
 
		\item Étudier le signe de $x^{\prime}Ct)$ et celui de $yx^{\prime}(t)$ sur l'intervalle $J$, puis dresser le tableau de variations complet des fonctions $x$ et $y$ sur l'intervalle $J$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Étude de la courbure}
 
On admet que :  $\left\{\begin{array}{l c l}
x^{\prime\prime}(t) = - 2 \cos t\\ 
y^{\prime\prime}(t) = - 4 \sin t \cos t - \sin t
\end{array}\right.$ 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le rayon de courbure $R$ de la courbe $\Gamma$ au point A de paramètre $t$ égal à $\dfrac{\pi}{3}$. 

Rappel: $R = \dfrac{\left(x^{\prime 2} + y^{\prime 2}\right)^{\frac{3}{2}}}{ x^{\prime}y^{\prime\prime} - x^{\prime\prime}y^{\prime}}$. 
		\item Montrer que le vecteur directeur unitaire de la tangente à $\Gamma$ en A est le vecteur $- \vect{\imath}$. 
		\item Donner le vecteur unitaire $\vect{n}$ tel que le repère $\left(\text{A}~;~- \vect{\imath}, \vect{n}\right)$ soit orthonormal direct. 
		\item En déduire les coordonnées du centre de courbure $G$ de la courbe $\Gamma$ au point A. 
	\end{enumerate}		
\item \textbf{Tracé de la courbe} \boldmath$\Gamma$\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs de l'annexe 1, à rendre. On donnera les valeurs arrondies à $0,01$ près. 
		\item On admettra que la tangente à la courbe $\Gamma$ au point de paramètre $t$ égal à $\pi$ est horizontale. Tracer la courbe $\Gamma$ dans le repère de l'annexe 2, à rendre. 
		\item Tracer le cercle de courbure au point A. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : Géométrie sphérique \hfill 10 points}

\medskip 

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.
 
Soit la sphère $\Sigma$ de centre O, de rayon $\sqrt{12}$.
 
Soient les points A$(0~;~- \sqrt{12}~;~0)$, B$(3~;~-\sqrt{3}~;~0)$, C$(3~;~\sqrt{3}~;~0)$ et D$(0~;~\sqrt{12}~;~0)$ de la sphère $\Sigma$.
 
On rappelle que l'image $M'$ d'un point $M$ par l'inversion de pôle $\Omega$ et de puissance $k$ est définie par 

\[\vect{\Omega M'} = \dfrac{k}{\Omega M^2}\vect{\Omega M}.\]

\medskip
 
\textbf{A. Propriétés de l'inversion}

\medskip
 
On considère l'inversion $I$ de pôle $\Omega(2~;~0~;~0)$ et de puissance $- 8$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la nature de l'inverse de la sphère $\Sigma$ par l'inversion $I$ ? Justifier la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que les points A et C sont inverses l'un de l'autre par l'inversion $I$ et que les points B et D sont eux aussi inverses l'un de l'autre par l'inversion $I$. 
		\item Placer sur la figure donnée en annexe 3, à rendre, les points $\Omega$, A et D. 
		\item En admettant que la sphère $\Sigma$ est globalement invariante par l'inversion $I$, construire sur l'annexe 3 les points B et C.
	\end{enumerate} 
\item Soit le point E$\left(\dfrac{3}{2}~;~- \dfrac{\sqrt{3}}{2}~;~3\right)$. 
	\begin{enumerate}
			\item Vérifier que le point E est un point de la sphère   $\Sigma$. 
			\item Montrer que l'image du point E par l'inversion $I$ est le point 
			F$\left(\dfrac{12}{5}~;~\dfrac{\sqrt{12}}{5}~;~- \dfrac{12}{5}\right)$. 
		\end{enumerate}
\item Quelle est l'image du cercle circonscrit au triangle plan ABE par l'inversion $I$ ? Justifier la réponse.
\end{enumerate}
 
\medskip
 
\textbf{B. Étude du triangle sphérique ABE}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées sphériques sous la forme $(R~;~\theta~;~\varphi)$ des points A et B
		 
($R$ désignant la distance du point à l'origine, $\theta$ la longitude et $\varphi$ la latitude en radians) . 
		\item On admet que les coordonnées sphériques de E sont : $\left(\sqrt{12}~;~- \dfrac{\pi}{6}~;~\dfrac{\pi}{3}\right)$.
 
En déduire l'angle $\widehat{\text{B}}$ et les longueurs des côtés $\widearc{\text{BE}}$ et $\widearc{\text{AB}}$ du triangle sphérique ABE.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la valeur exacte du côté $\widearc{\text{AE}}$ puis en donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ près. On détaillera les calculs.
 
\textbf{Rappel :} Pour un triangle ABC sur la sphère de centre O et de rayon 1, avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique : 

\[\cos (a) = \cos (b) \cos (c) + \sin (b) \sin (c) \cos \text{A}\]
\end{enumerate} 
\newpage


{\large \textbf{ANNEXE 1 : à rendre avec la copie}

\vspace{0,5cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 1 : 4. a.}
\end{flushleft}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Point& $M_{0}$ &A &$M_{\pi}$\\ \hline 
$t$& 0&$\dfrac{\pi}{3}$&$\pi$\\ \hline 
$x(t)$&&&\\ \hline 
$y(t)$&&&\\ \hline 
\end{tabularx}
\renewcommand\arraystretch{1}

\vspace{1.5cm}


{\large \textbf{ANNEXE 2 : à rendre avec la copie}}

\vspace{0,5cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 1 : 4. b.}
\end{flushleft}

\vspace{0,5cm}


\psset{unit=1.5cm}
\begin{pspicture*}(-2,-2)(5.5,2.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.3pt,gridcolor=orange,subgridwidth=0.15pt,subgridcolor=orange](-1,-2)(5.5,2.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-2)(5.5,2.5)
\uput[d](5.4,0){$x$}\uput[l](0,2.4){$y$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}

%\end{center}


\newpage
\begin{center}

{\large \textbf{ANNEXE 3 : à rendre avec la copie}}

\vspace{0,5cm}
 
\begin{flushleft}\textbf{EXERCICE 2 : A 2. b.}

\textbf{EXERCICE 2 : A 2. c.}
\end{flushleft}

\vspace{2cm}

\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(-7,-7)(7,7)
\psline[linestyle=dashed](-6.6,0.9)(6.6,-0.9)
\psline[linestyle=dashed](-2.2,-2.1)(2.2,2.1)
\psline[linestyle=dashed](0,-6)(0,6)
\pscircle(0,0){5.7}\rput(-2.5,-2.4){$x$}\rput(6.7,-0.6){$y$}\rput(0,6.2){$z$}
%\psgrid
%\psellipse[linecolor=blue](0,0)(5.7,1.9)
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\rput{20}{\scalebox{0.9}[.99]{\psarc[linestyle=dashed](0,0){5.7}{90}{-90}}}
\psdots[dotstyle=+,dotangle=45,dotscale=1.5](-2.6,4)(-0.4,-5)\uput[ul](-2.6,4){E}\uput[dl](-0.4,-5){F}
\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{document}