%!TEX encoding = UTF-8 Unicode
\documentclass[10pt]{article}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\usepackage{amsmath,amssymb,makeidx}
\usepackage{fancybox}
\usepackage{graphicx}
\usepackage{tabularx}
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{textcomp} 
\newcommand{\euro}{\eurologo{}}
%Tapuscrit : prof.maths
\usepackage{pst-plot,pst-text,pstricks-add}
\newcommand{\R}{\mathbb{R}}
\newcommand{\N}{\mathbb{N}}
\newcommand{\D}{\mathbb{D}}
\newcommand{\Z}{\mathbb{Z}}
\newcommand{\Q}{\mathbb{Q}}
\newcommand{\C}{\mathbb{C}}
\setlength{\textheight}{23,5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\setlength{\voffset}{-1,5cm}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage[frenchb]{babel}
\usepackage[np]{numprint}
\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P. M. E. P.}}
\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre  topographe}}
\rfoot{\small{25 mai 2011}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur session 2011~\decofourright\\ Géomètre  topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 : géométrie sphérique\hfill 9 points}

\medskip

L'espace est rapporté à un repère orthonormal direct \Oijk.

($\Sigma$) est la sphère de centre O, de rayon 1.
 
\emph{Rappels} : avec les notations usuelles de la trigonométrie sphérique :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] tout point de ($\Sigma$) est repéré par le couple $(\theta~;~\varphi)$ où $\theta$ est sa longitude et $\varphi$ sa latitude (en radians) ; 
\item[$\bullet~~$] les éléments caractéristiques du triangle sphérique ABC sont notés $a,\, b,\, c$ pour les angles au  centre, et A, B, C pour les angles aux sommets et seront exprimés en radians ; 
\item[$\bullet~~$] pour un triangle sphérique ABC :

$\cos a = \cos b \cos c + \sin b \sin c \cos \widehat{\text{A}}$ et
 
$\dfrac{\sin a}{\sin \widehat{\text{A}}} 	= \dfrac{\sin b}{\sin \widehat{\text{B}}} = \dfrac{\sin c }{\sin \widehat{\text{C}}}$. 	
\end{itemize}
\setlength\parindent{5mm}	
	 
On considère en coordonnées sphériques les points de ($\Sigma$) suivants : 

\[\text{N}\left(0~;~\dfrac{\pi}{2}\right) \quad \text{S}\left(0~;~-\dfrac{\pi}{2}\right)\quad \text{A}(0~;~0)\quad \text{B}\left(0~;~\dfrac{\pi}{3}\right) \quad  \text{C}\left(\dfrac{5\pi}{12}~;~0\right)\]
 
\begin{enumerate}
\item Compléter la figure donnée en annexe 1, en plaçant les points N, S, A, B et C, ainsi que le triangle sphérique ABC. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item En remarquant que $\dfrac{5\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{6}$ justifier les résultats suivants : 
 
\[\cos \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} -\sqrt{2}}{4}\qquad \text{et}\qquad  \sin \left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6} +\sqrt{2}}{4}.\]
 
		\item  Déterminer les valeurs exactes des coordonnées cartésiennes des points A, B, C.
	\end{enumerate} 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs exactes de $b, c$ et $\widehat{\text{A}}$. 
		\item Déterminer les valeurs arrondies à $10^{-3}$ pr\`es de $a,\, \widehat{\text{B}}$ et $\widehat{\text{C}}$. 
		\item Déterminer la valeur arrondie à $10^{-2}$ pr\`es de l'aire du triangle sphérique ABC.
	\end{enumerate} 
\item On note $I$ l'inversion de pôle N et de puissance 2. 

Pour tout point $M$ de l'espace, on notera $M'$ son image par l'inversion $I$. 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer l'image par l'inversion $I$ de la sphère $(\Sigma)$ privée du point N. 
		\item Quelles sont les images des points A et C par l'inversion $I$ ? 
		\item Calculer les coordonnées exactes de B$'$ , image du point B par l'inversion $I$. 
		\item Placer le point B$'$ sur la figure en laissant les traits de construction. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 : étude d'une courbe paramétrée\hfill 11 points}

\medskip

Le plan est muni d'un repère orthonormal \Oij{} direct.
 
On considère la courbe $(\Gamma)$ dont chaque point $M_{t}$ a pour coordonnées : 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
x(t)& =& \dfrac{t^2}{1 +t^2}\\  
y(t)& =& \dfrac{\text{e}^t}{1 + t^2}
\end{array}\right.,\: t~\text{décrivant}~ \R.\]  
 
\begin{enumerate}
\item \textbf{Étude des variations et étude de la courbe}

\medskip
 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les limites en $- \infty$ et en $+ \infty$ des fonctions $x$ et $y$. Préciser l'asymptote de la courbe. 
		\item Démontrer que : $x'(t) = \dfrac{2t}{\left(1 + t^2 \right)^2}$		 et $y'(t) = \dfrac{\text{e}^t(t - 1)^2}{\left(1 + t^2 \right)^2}$. 
		\item Étudier les variations des fonctions $x$ et $y$. Rassembler les résultats dans un tableau de variations. 
		\item Donner une équation de la droite $(\Delta)$ tangente à la courbe ($\Gamma$) au point E de paramètre $t = 1$.
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Étude de la courbure}
 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que : $x^{\prime\prime}(t) = \dfrac{2\left(1 - 3t^2\right)}{\left(1 + t^2\right)^3}$.

On admettra que : $y^{\prime\prime}(t) = \dfrac{\text{e}^t(t - 1)\left(t^3 - 3t^2 + 5t + 1\right)}{\left(1 + t^2\right)^3}$.
		\item Déterminer le rayon de courbure $R$ de la courbe ($\Gamma$), au point A de paramètre $t = 0$.
		 
\emph{Rappel} : $R = \dfrac{\left(x'^2 + y'^2\right)^{\frac{3}{2}}}{x'y'' - x''y'}$.
		\item  On note ($C$) le cercle de courbure au point A.
		\begin{enumerate}
			\item Démontrer que $\vect{\jmath}$ est un vecteur directeur unitaire de la tangente à ($\Gamma$) en A.
			
Préciser le vecteur $\vect{n}$ tel que le repère $\left(\text{A}~;~\vect{\jmath},\,~\vect{n}\right)$ soit un repère orthonormal direct. 
			\item Démontrer que le cercle ($C$) a pour centre le point $\Omega\left(\dfrac{1}{2}~;~1\right)$. 
			\item Déterminer une équation cartésienne du cercle ($C$).
		\end{enumerate}
	\end{enumerate} 
\item \textbf{Tracé de la courbe} \boldmath $(\Gamma$)\unboldmath 
	\begin{enumerate}
		\item Compléter le tableau de valeurs en annexe 1 ; on donnera des valeurs arrondies à $10^{-2}$ près. 
		\item Tracer la courbe ($\Gamma$), le cercle ($C$) et la droite ($\Delta$) sur la feuille donnée en annexe 2. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\newpage

\begin{center}
\textbf{ANNEXE 1 (À RENDRE AVEC LA COPIE) }

\vspace{0,5cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 1 [question \textbf{1.}) :} \end{flushleft}

\medskip

\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-6,-4)(6,4)
\psline(-6,0.85)(-3.95,0.6)
\psline[linestyle=dashed](-3.95,0.6)(3.95,-0.6)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(3.95,-0.6)(6,-0.95)
\psline[linestyle=dashed](-2.6,-3.05)(2.6,2.9)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(-2.6,-3.05)(-2.8,-3.3)\uput[dl](-2.8,-3.3){$x$}
\psline{->}(2.6,2.9)(2.7,3.05)\uput[dr](6,-0.95){$y$}
\pscircle[linewidth=1.25pt](0,0){4}
\scalebox{1}[0.4125]{\psarc(0,0){4}{180}{0}}%
\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(4,1.65)
\rput{-5}(0,0){\scalebox{1}[3.333]{\psarc(0,0){1.19}{90}{-90}}}%
\rput{-5}(0,0){\psellipse[linestyle=dashed](0,0)(1.2,4)}%
\psline[linestyle=dashed](0,-4)(0,4)\psline(0,-4)(0,-4.5)
\psline[arrowsize=2pt 4]{->}(0,4)(0,4.5)\uput[u](0,4.5){$z$}\uput[ul](0,0){O}
\end{pspicture}

\medskip

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 [question \textbf{3.\,a.}) : }

\medskip
 
Tableau de valeurs à compléter: 
\end{flushleft}

\medskip
\renewcommand\arraystretch{1.5}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
\textbf{Point}& $M_{-2}$& A &E &$M_{2}$\\ \hline 
$t$&$- 2$& 0 &1 &2 \\ \hline
$x(t)$&&&&\\ \hline% 
$y(t)$&&&&\\ \hline%
\end{tabularx} 

\newpage

\textbf{ANNEXE 2 (À RENDRE AVEC LA COPIE)}

\vspace{1cm}

\begin{flushleft}\textbf{Exercice 2 [question \textbf{3.\,a.}) :}  
\end{flushleft}
\bigskip

\psset{unit=6.667cm}
\begin{pspicture*}(-0.1,-0.3)(1.6,2.2) 
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-0.1,-0.3)(1.6,2.2)
\uput[d](1.55,0){$x$}\uput[l](0,2.15){$y$}
\uput[dl](0,0){O}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=10,gridcolor=orange,subgridcolor=orange,griddots=10,subgriddots=10,gridwidth=1.5pt,subgridwidth=1.5pt]
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}