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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}
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\lhead{\small Brevet de technicien supérieur}
\lfoot{\small{Géomètre topographe}}
\rfoot{\small{juin 2003}}
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\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P. M. E. P.}}}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Brevet de technicien supérieur~\decofourright\\ session 2003 - Géomètre topographe}}
  
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 10 points}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Dans le plan rapporté à  un repère orthonormal \Oij{} (unité graphique sur chaque axe : 4~cm),
on considère la courbe paramétrée E d'équations :

\[\left\{ \begin{array}{l c l}
x(t)&=& \cos 2t \\ 
y(t)&=&2 \sin 2t
\end{array} \right. \]

\begin{enumerate}
\item  Faire l'étude de cette courbe paramétrée après avoir justifié que l'intervalle d'étude peut se réduire à  $\left[0~;~\dfrac{\pi}{2} \right] $.
\item  Tracer la courbe E.
\item Montrer que cette courbe est en fait une ellipse dont on calculera les éléments caractéristiques.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Dans l'espace muni d'un repère orthonormal \Oijk, on considère le cercle C de centre O contenu dans le plan \Oij{} ayant pour rayon le demi grand axe de l'ellipse E.

Soient A et B deux points de l'espace de coordonnées respectives $\left(\sqrt2~;~\sqrt2~;~0\right)$ et $\left(\sqrt2~;~-\sqrt2~;~0\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit S la sphère obtenue en faisant tourner C autour de l'axe (O$x)$.

 Écrire une équation de la sphère S.
\item  Montrer que les points A et B appartiennent à  la sphère S.
\item  Soit N le pôle nord de la sphère S. Déterminer les coordonnées sphériques des points N, A et B.
\item  Déterminer les 6 éléments caractéristiques du triangle sphérique NAB.
\item  Calculer l'aire du triangle sphérique NAB.

{\emph On rappelle les formules concernant un triangle sphérique ABC :}

$\cos a=\cos b.\cos c+\sin b.\sin c.\cos A$

${\rm aire}(\text{ABC}) = (\text{A} + \text{B} + \text{C} -\pi) \cdot R^2$

($R$ = rayon de la sphère).
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 10 points}

\medskip

L'espace est rapporté au repère orthonormal \Oijk. Soit 
K(0~;~0~;~3)  et C le cône de révolution d'axe $\left(\text{O}~;~\vect{k}\right)$ et de demi angle au sommet $\frac{\strut\pi}{4}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer qu'une équation cartésienne de C est $x^2+y^2=(3 - z)^2$.
\item  Soit E l'intersection du cône C et du plan d'équation $z = 0$. Donner une équation cartésienne de E, sa nature et ses éléments caractéristiques.
\item Soit $\Omega(-3~;~0~;~0)$ et soit $I$ la transformation de l'espace qui, à  tout point $M$ de l'espace, associe le point $M'$ qui vérifie $\vect{\Omega M'}=\dfrac{6}{\Omega M^2}\vect {\Omega M}$.
	\begin{enumerate}
		\item  Donner la nature et les éléments caractéristiques de $I$.
		\item Soit $A(3~;~0~;~0)$ et $B(0~;~3~;~0)$. Déterminer $A' = I(A)$ et $B' = I(B)$.
		\item Soit D la droite de l'espace déterminée par :
		
D $\left\{ \begin{array}{l c l}
x&=&-2 \\ 
z&=&0
\end{array}\right.$

Montrer que l'image de E par $I$ est la droite D.
	\end{enumerate}
\item Soit $\Delta$ la droite de l'espace de représentation paramétrique $\quad
\Delta 
\left\{ \begin{array}{l c l}
x(t)&=&-\dfrac{9}{4}\\ 
y(t)&=&t\\
z(t)&=&0
\end{array} \right. $
	\begin{enumerate}
		\item  Soit $M(x(t)~;~y(t)~;~z(t))$ un point de $\Delta$. Soit 
$M'(x'(t)~;~y'(t)~;~z'(t))$ son image par $I$. Montrer que :
$x'(t)=\dfrac{\frac{\strut45}{\strut16}- 3t^2}{\frac{\strut9}{\strut16}+t^2}$ ; 
$y'(t)=\frac{\strut6t}{\frac{\strut9}{16}+t^2}$ ; 
$z'(t)=0$.
		\item  En déduire que l'image de la droite $\Delta$ par $I$ est contenue dans la sphère S, de centre  F(1~;~0~;~0) et de rayon 4.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}